Trigonometría esférica
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Trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.
[editar] Círculo máximo
La intersección de una esfera con un plano que contenga su centro genera un círculo máximo sobre la superficie de la esfera.
Un círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales.
La distancia entre dos puntos A y B de la esfera unidos por un círculo máximo es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrómica.
Como ejemplos de círculo máximos en la superficie de la Tierra se puede mencionar a:
- El trazado en la figura
- Cualquiera de los meridianos.
- El ecuador.
[editar] Triángulo esférico
Imagen:Spherical triangle 3d.png
Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco.
[editar] Fórmulas fundamentales
<math>\alpha\!</math>:ángulo formado entre los arcos AC y AB
<math>\beta\!</math>:ángulo formado entre los arcos AB y BC
<math>\gamma\!</math>:ángulo formado entre los arcos AC y BC
[editar] Fórmula del coseno
- <math>\cos CB= \cos AC \cos AB + \sin AC \sin AB \cos \alpha \!</math>
El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.
[editar] Fórmula del seno
- <math>\frac{\sin CB}{\sin\alpha}=\frac{\sin AC}{\sin\beta}=\frac{\sin AB}{\sin\gamma}.</math>
Los senos de los lados, son proporcionales a los senos de los angulos opuestos.
[editar] Fórmula de la cotangente
La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:
ángulo <math>\alpha\!</math>; lado AB; ángulo <math>\beta\!</math>; lado BC.
- <math>\cos AB \cos \beta =\sin AB \cot CB - \sin \beta \cot \alpha\!</math>
Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del lado medio por la cotangente del otro lado, menos seno del angulo medio por la cotangente del otro ángulo.
[editar] Triángulo esférico rectángulo
Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = <math>\alpha\!</math>+<math>\beta\!</math>+<math>\gamma\!</math> − 180°.
Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.
[editar] Pentágono de Neper
Imagen:Neper's Circle.png El pentágono de Neper es una regla nemotécnica para resolver triángulos rectángulos, toma este nombre en homenaje al científico inglés John Napier, y se construye de la siguiente forma:
Coloque en cada sector elementos consecutivos, cateto - ángulo - cateto etc, tal cual aparecen en el triángulo, salteando al ángulo recto C.
Reemplace a los ángulos B, C y a la hipotenusa por sus complementos, esto es.
B por (90°-B)
C por (90°-C)
a por (90°-a).
Se establecen dos reglas:
- el seno de un elemento medio es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes.
Ej: seno(a)= tg(b). tg (90°-B) o lo que es lo mismo = tg(b).ctg(B)
- el seno de un elemento medio es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos.
Ej: seno(a)= coseno(90°-A). coseno(90°-c) o lo que es lo mismo = seno(A).seno(c)
[editar] Bibliografía
Apuntes de trigonometría esférica. Escuela Nacional (Chile).
Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Chile).
Wikipedia en inglés.ca:Trigonometria esfèrica de:Sphärische Trigonometrie en:Spherical trigonometry eo:Sfera trigonometrio fi:Pallotrigonometria fr:Trigonométrie sphérique ja:球面三角法 nl:Boldriehoeksmeting pl:Trójkąt sferyczny pt:Triângulo esférico ru:Сферическая тригонометрия sr:Сферни троугао sv:Sfärisk geometri zh:球面三角學
