Triángulo
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[editar] Definiciones
I - Siendo A,B y C tres puntos de un plano, no alineados, se llama triángulo ABC a la intersección de los ángulos ABC, CAB y BCA.
II - Dados tres puntos no alineados, A,B y C, se llama triángulo ABC a la figura intersección entre:
- El semiplano respecto de la recta AB que contiene al punto C:
- El semiplano respecto de la recta AC que contiene al punto B:
- El semiplano respecto de la recta BC que contiene al punto A:
[editar] Tipos de triángulos
Por la longitud de sus lados se puede clasificar:
- Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)
- Triángulo isósceles: Tiene (al menos) dos lados y dos ángulos iguales
- Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.
<td>Imagen:Triangle.Equilateral.png</td> <td>Imagen:Triangle.Isosceles.png</td> <td>Imagen:Triangle.Scalene.png</td> </tr> <tr align="center"> <td>Equilátero</td><td>Isósceles</td><td>Escaleno</td> </tr> </table>
Por la medida de sus ángulos:
- Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
- Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
- Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son menores a noventa. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
- Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
| Imagen:Triangle.Right.png | Imagen:Triangle.Obtuse.png | Imagen:Triangle.Acute.png |
| Rectángulo | Obtusángulo | Acutángulo |
[editar] Resumen
Según lo anterior los triángulos acutángulo son:
- Triángulo equilatero, con los tres ángulos agudos e iguales a 60º y los tres lados iguales, este triángulo es simétrico respecto a sus tres alturas.
- Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
- Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.
Los triángulos rectángulos pueden ser:
- Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.
- Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusangulos son:
- Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
- Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
| Triángulo | equilátero | isósceles | escalenoide |
|---|---|---|---|
| acutángulo | Imagen:Triángulo equilátero.svg | Imagen:Triángulo acutángulo isósceles.svg | Imagen:Triángulo acutángulo escaleno.svg |
| rectángulo | Imagen:Triángulo rectángulo isósceles.svg | Imagen:Triángulo rectángulo escaleno.svg | |
| obtusángulo | Imagen:Triángulo obtusángulo isósceles.svg | Imagen:Triángulo obtusángulo escaleno.svg |
[editar] Cálculo de la superficie de un triángulo
- La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto). y dividiendo en dos. Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base la superficie S queda expresada del siguiente modo:
- <math>S =\frac{bh}{2} = \frac{base * altura}{2}</math>
- Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de Herón.
- <math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
donde p = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Cuando el triángulo es muy "afilado" (la suma de los dos lados menores es muy similar al valor del lado mayor) la fórmula anterior es inestable numéricamente.
Rescribiendo la fórmula anterior obtenemos: (suponiendo a<i> ≥ <i>b<i> ≥ <i>c<i> )
- <math>S = {1\over{4}}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}</math>
Otra forma de calcular el area es (a.b.sen&/2) ;donde a y b son dos lados cualesquiera del triangulo e & es el angulo ocomprendido entre ellos.
[editar] Propiedades de los triángulos.
- Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
- Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica que:(Teorema de Pitágoras)
- a² + b² = c²
- Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
- Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
- <math>a^2=b^2+c^2-2bc*\cos(A)\,</math>
- <math>b^2=a^2+c^2-2ac*\cos(B)\,</math>
- <math>c^2=a^2+b^2-2ab*\cos(C)\,</math>
[editar] Centros del triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:
- Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad
- Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados.
- Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.
- Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
El único caso en que los centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.
[editar] Triángulos Oblicuángulos
Para resolver triángulos oblicuángulos se utiliza el Teorema del Seno y el Teorema del coseno.
[editar] Véase también
- Imagen:Commons-logo.svg Commons alberga contenido multimedia sobre triángulos.Commons
- Puntos de Euler
- Teorema de Pitágoras
- Teorema del seno
- Teorema del coseno
- Vértice
- Altura de un triángulo
an:Trianglo ar:مثلث ast:Triángulu bg:Триъгълник ca:Triangle co:Triangulu cs:Trojúhelník da:Trekant de:Dreieck el:Τρίγωνο en:Triangle eo:Triangulo et:Kolmnurk eu:Hiruki fa:مثلث fi:Kolmio fr:Triangle gl:Triángulo he:משולש ht:Triyang id:Segitiga io:Triangulo is:Þríhyrningur it:Triangolo ja:三角形 ka:სამკუთხედი ko:삼각형 la:Triangulum li:Driehook lt:Trikampis lv:Trīsstūris mk:Триаголник ml:ത്രികോണം mr:त्रिकोण new:त्रिकोण nl:Driehoek (meetkunde) nn:Trekant no:Trekant pl:Trójkąt pt:Triângulo qu:Kimsak'uchu ro:Triunghi ru:Треугольник sco:Triangle sh:Trokut simple:Triangle sk:Trojuholník sl:Trikotnik sr:Троугао sv:Triangel tg:Секунҷа th:รูปสามเหลี่ยม tr:Üçgen uk:Трикутник ur:مثلث vi:Tam giác vls:Drieoek zh:三角形 zh-classical:三角形 zh-min-nan:Saⁿ-kak-hêng
