Teorema del seno

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Imagen:Triangle and circumcircle with notations.png

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Consideramos un triángulo cualquiera ABC, representado en la Fig. 1 contigua, donde los ángulos son designados por las letras minúsculas griegas y los lados opuestos a los ángulos por la minúscula latina correspondiente:

a = BC y α = ángulo formado por [AB] y [AC];
b = AC y β = ángulo formado por [BA] y [BC];
c = AB y γ = ángulo formado por [CA] y [CB].

Entonces,

<math>\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R</math>,

donde R es el radio del círculo circunscrito en el triángulo ABC y

es el área de dicho triángulo a partir del semiperímetro p por la fórmula de Herón.

La relación de proporcionalidad es a veces resumida así:

<math>\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma</math>

Imagen:Triangle-with-a-b-beta-known.png

El teorema puede utilizarse

para determinar el radio del círculo circunscrito

<math>\,R = \frac{a}{2\sin\alpha}</math>

para resolver un triángulo del cual conocemos un ángulo, un lado adyacente al ángulo y un lado opuesto (cf. Fig. 2 contigua)

<math>\gamma = \arcsin \frac{c\sin\beta}{b}</math>.

Tabla de contenidos

1 Generalización en geometrías no euclídeas
- 1.1 Geometría esférica
- 1.2 Geometría hiperbólica
2 Generalización en el espacio euclídeo
3 Véase también
4 Bibliografía

[editar] Generalización en geometrías no euclídeas

Imagen:Spherical triangle with notations.png Para una superficie no euclídea de curvatura K, denotamos con ρ el radio de curvatura. Verifica

<math>\,\rho = 1/\sqrt{|K|}</math>.

Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:

<math>\,a = BC/\rho</math>,

<math>\,b = AC/\rho</math>,

<math>\,c = AB/\rho</math>.

En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angulair de los segmentos de grande arco [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 3).

[editar] Geometría esférica

En un triángulo esférico ABC dibujado en la esfera de centro O y de radio ρ (Fig. 3), el teorema del sinus se escribe

<math>\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} </math>,

donde V_OABC es el volumen del tetraedro OABC.

[editar] Geometría hiperbólica

En un triángulo hiperbólico, el teorema del sinus se escribe

<math>\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}</math>.

[editar] Generalización en el espacio euclídeo

Consideramos un tetraedro A₁A₂A₃A₄ del espacio euclídeo. La figura 3 contigua presenta las notaciones referentes a los vértices, caras y ángulos en el tetraedro:

Imagen:Tetrahedron with faces and dihedral angles.png

<math>\,\mathrm S_k</math> la cara opuesta al vértice <math>\mathrm A_k\ </math>;
<math>\,s_k</math> la superficie de <math>\mathrm S_k\ </math>;
<math>\,\Delta_k</math> el plano que contiene <math>\mathrm S_k\ </math>;
<math>\,\theta_{ij}</math> el ángulo diedral <math>\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}</math>.

Definimos el sinus del ángulo triedral formado por los vértices <math>A_1</math>, etc. como sigue

<math>\sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}}</math> ;
etc.

Entonces

<math> \frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V}</math>,

donde V es el volumem del tetraedro.