Serie de Fourier

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El análisis de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones periódicas a traves de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho mas simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación incluyen análisis vibratorio , acustica, óptica, procesamiento de imágenes y señales,y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a traves del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier poseen la forma:

<math>y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\operatorname{sen}(nx)\right]</math>

donde <math>a_n \,\!</math> y <math>b_n \,\!</math> se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función <math>y(x) \,\!</math>.

Tabla de contenidos

1 Definición.
- 1.1 Teorema De Dirichlet: Convergencia a una función periódica
- 1.2 Forma exponencial
  - 1.2.1 Ingeniería
2 Aplicaciones
3 Formulación Moderna
4 Formulación general
5 Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp
- 5.1 Enlaces externos
6 Véase también

[editar] Definición.

Si <math> f </math> es una función (o señal) periódica y su período es <math>T</math>, la serie de Fourier asociada a <math> f </math> es:

<math>f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{n\pi}{T}t+b_n\operatorname{sen}\frac{n\pi}{T}t\right]. </math>

<math>a_n</math> y <math> b_n</math> son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

<math> a_n = \frac{1}{T} \int_{-T}^T f(t) \cos \left( \frac{n \pi}{T} t \right) dt, \qquad b_n=\frac{1}{T} \int_{-T}^T f(t) \sin \left(\frac{n\pi}{T}t\right) dt .</math>

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

<math> f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}.</math>

Los coeficientes ahora serían

Lo más frecuente es trabajar con funciones de período <math>2\pi</math>.

[editar] Teorema De Dirichlet: Convergencia a una función periódica

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

<math>a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \operatorname{cos} \frac{n \pi x} {p} dx,</math>

<math>b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x} {p} dx,</math>

entonces la serie converge a f(x).

[editar] Forma exponencial

Por la identidad de Euler, y operando adecuadamente, si

la serie de fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

<math> \sum_{n=0}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}.</math>

En forma más compacta:

<math> \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}</math>

[editar] Ingeniería

El análisis de señales en el dominio del tiempo se realiza a traves de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

<math>C_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-j \omega_n t}\, dt,</math>

Por lo tanto:

<math>f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n e^{j \omega_n t}</math>

[editar] Aplicaciones

Imagen:Wiki letter w.svg

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Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

[editar] Formulación Moderna

En la actualidad, el desarrollo de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que <math>\int |f|^2<\infty</math>. Al conjunto de todas las funciones definidas en el intervalo <math>[-\pi, \pi]</math> se lo nota con <math>L^2([-\pi, \pi])</math>. Este conjunto, tiene definido un producto interno,

<math><f,g>=\int_{-\pi}^\pi f\overline g</math>

que lo transforma en un espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de <math>L^2([-\pi, \pi])</math> puedan desarrollarse en series de Fourier, lo que nos dice es que el sistema de exponenciales (o de caracteres) <math>\{e^{k \pi i}:k\in Z\}</math> es una base ortonormal del espacio<math>L^2([-\pi, pi]</math>.

La igualdad de Parseval dice que dada una función <math>f</math> de cuadrado integrable y <math>c_n</math> sus coeficientes de Fourier, se verifica que:

<math>||f||^2=\ <f,f>\ =\sum_{k=-\infty}^\infty c_k.</math>

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

[editar] Formulación general

Las útiles propiedades de las series de Fourier son debidas principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones e^{i n x}.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

[editar] Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que las "funciones base" e^ikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:

Si <math>g(x)=f(x-y)</math> entonces <math>\hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)</math>
La transformada de Fourier es un morfismo: <math>(f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k)</math> -- esto es, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.