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Para una introducción menos técnica véase Introducción a la relatividad general y a Introducción matemática a la relatividad general para una aclarción de los conceptos matemáticos tratados aquí.

La Teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatiorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.

El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el Principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado.

La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió fundar también el campo de la cosmología.

Tabla de contenidos 1 Principales características 1.1 La gravedad como curvatura del espacio-tiempo 1.2 Principio de covariancia 1.3 El principio de equivalencia 1.4 Formulación y consideraciones generales 2 Estructura matemática de la Relatividad General 2.1 ¿Por qué es necesaria la Relatividad General? 2.2 La contracción del tiempo provocada por la gravedad 3 Los diferentes tensores y escalares de la Relatividad General 3.1 La derivada covariante 3.2 Los principios de general covariancia y acoplamiento mínimo 3.3 El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo 3.4 El significado físico del tensor de Ricci 3.5 Las ecuaciones de Universo de Einstein 3.6 El tensor de Weyl 3.7 La constante cosmológica 3.8 Resumen 4 Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein 5 Predicciones de la Relatividad General 5.1 Efectos gravitacionales 5.2 Efectos rotatorios 5.3 Otros efectos 5.4 Comprobaciones 6 Relación con otras teorías físicas 6.1 Inercia 6.2 Gravitación 6.3 Electromagnetismo 6.4 Conservación de energía-momentum 7 Transición de la relatividad especial a la relatividad general 8 Notas 9 Véase también 10 Enlaces externos

[editar] Principales características

Las características esenciales de la teoría general de la relatividad son las siguientes:

• El principio general de covariancia: las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas.
• El movimiento libre inercial de una partícula en un campo gravitatorio se realiza a través de trayectorias geodésicas.
• El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial se aplican localmente para todos los observadores inerciales.

[editar] La gravedad como curvatura del espacio-tiempo

En la teoría general de la relatividad como en otras teorías métricas de la gravitación,espacio-tiempo es tratado como una variedad Lorentziana de 4 dimensiones que se curva por la presencia de masa y energía. La relación entre la presencia de materia y la curvatura del espacio-tiempo viene dada por ecuaciones del campo de Einstein. En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a traves de este espacio tiempo-curvado.

[editar] Principio de covariancia

El principio de covariancia es una de las motivaciones principales que llevaron a Einstein a generalizar la teoría de la relatividad especial. Dicho principio afirma que, las leyes fundamentales de la física deben tener la misma forma para cualquier observador sea cual sea el estado de movimiento de éste. La objetividad del mundo material requiere que las medidas hechas por diversos observadores sean relacionables mediante leyes de transformación fijas:

1. Matemáticamente el principio de covariancia implicaba que las leyes de la física deben ser leyes tensoriales en el que las magnitudes medidas por diferentes observadores sean relacionables de acuerdo a la transformación de coordenadas de cada observador.
2. Físicamente el principio de covariancia dependía de la observación de que para diversas clases sistemas de coordenadas de referencia no existía procedimiento físico para distinguir entre ellos. Influido por el principio de equivalencia y otras observaciones Einstein y otros llegaron a teorizar que era posible construir una teoría donde todas las ecuaciones pudieran ser escritas en una forma suficientemente general como para tener la misma forma en cualquier sistema de coordenadas.

Un ejemplo de esto era el equivalente relativista de la segunda ley de Newton que se escribe para cualquier sistema de coordenadas xⁱ, en términos del tiempo propio (τ), los símbolos de Christoffel (Γ) del sistema de coordenadas y las componentes de la cuadrifuerza (F) como:</br> </br>

<math> m \left(\frac{d^2x^i}{d\tau^2} + \Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{d\tau}\frac{dx^k}{d\tau}

\right) = F^i</math> </br> Así la distinción aparente entre sistemas inerciales y no inerciales de la mecánica newtoniana era ilusoria, ya que estos no son más que sistemas en los que los símbolos de Christoffel que aparecen en la expresión anterior se anulan, y por tanto, los sistemas inerciales son sólo un caso particular de sistema de referencia, pero no un tipo privilegiado o de ningún modo destacado de sistema de referencia, un vez las leyes se formulan en la forma covariante adecuada.

[editar] El principio de equivalencia

El principio de equivalencia o principio de invariancia local de Lorentz, establece que un observador que se mueve a lo largo de una línea geodésica, no puede hacer ningún experimento puntual que sea capaces de distinguir una caída no-rotacional en un campo gravitacional a partir del movimiento uniforme en ausencia de un campo gravitatorio. Es decir, no hay gravedad en un sistema de referencia en caída libre.

Desde esta perspectiva la gravedad observada en la superficie de la Tierra es la fuerza observada en un sistema de referencia definido por la materia en la superficie que es no libre (es ligada) pero es atraída hacia abajo por la materia terrestre, y es análoga a la fuerza "gravitatoria" sentida en un coche dando una curva. De esta manera, Einstein señaló que existe cierto paralelo entre la presencia de campos gravitatorios y la existencia de referencia no inerciales en los que los cuerpos que se mueven libremente sufriendo una aceleración derivada del propio sistema de referencia. En sistemas de referencia no inerciales se percibe una fuerza derivada del sistema de referencia, no por la influencia directa de otra materia. Nosotros sentimos fuerzas "gravitatorias" cuando vamos en un coche y giramos en una curva como la base física de nuestro sistema de referencia. De forma similar actúan el efecto Coriolis y la fuerza centrífuga cuando definimos sistemas de referencia basados en un cuerpo rotando (tal cual la Tierra o un niño dando vueltas).

Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista de la gravitación.

[editar] Formulación y consideraciones generales

Matemáticamente, Einstein modelizó la geometría del espacio-tiempo por una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía en dicho punto.

Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma recíproca la materia le dice al espacio como curvarse. La ecuación de campo posible no es única, habiendo posibilidad de otros modelos sin contradecir la observación. La relatividad general se distingue de otras teorías de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura, aunque todavía no se ha resuelto su unificación con la Mecánica cuántica y el reemplazo de la ecuación de campo con una ley adecuada a la cuántica. Pocos físicos dudan que una teoría así, una teoría del todo pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

[editar] Estructura matemática de la Relatividad General

[editar] ¿Por qué es necesaria la Relatividad General?

Los éxitos explicativos de la teoría de la Relatividad Especial condujo a la aceptación de la teoría por la mayor parte de los físicos. Antes de la formulación de la relatividad general existían por tanto dos teorías físicas incompatibles:

• La teoría especial de la relatividad que integraba adecuadamente el electromagnetismo, y que descarta explícitamente las acciones instatáneas a distancia.
• La teoría de la gravitación de Newton que explicaba la gravedad mediante acciones instatáneas a distancia.

La necesidad de buscar una teoría que integrase como casos límites particulares las dos anteriores requería la búsqueda de una teoría de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Además de la formulación de una teoría relativista de la gravitación, hubo otra razón adicional. Einstein había concebido la teoría especial de la relatividad como una teoría aplicable sólo a sistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfacción de Einstein con su creencia de que la teoría era aplicable sólo a sistemas inerciales les llevó a buscar una teoría que proporcionara descripciones físicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general.

Esta búsqueda era necesaria, ya que según la Relatividad Especial ninguna información puede viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relación de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo espacial. Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio de acción a distancia, supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantáneamente a través del espacio. La contradicción entre ambas teorías es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevaría implícita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz.

Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el electromagnético, tiene una entidad física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeficientes de la métrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes.

Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la Relatividad General lo constituyó la enunciación por Albert Einstein en el año 1912 del principio de equivalencia, al que su autor calificó como "la idea más feliz de mi vida". Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico sustancialmente similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales.

En este punto hay una diferencia esencial entre la mecánica galileana y la general relativista: En la primera, de acuerdo con la ley de Newton, un cuerpo en caída libre no es un sistema inercial, sino que -por el contrario- describe un movimiento uniformemente acelerado que lo lleva a desplazarse hacia el centro de la masa. Por otro lado, un sujeto que se halle en reposo sobre la superficie de la tierra es un observador inercial.

Sin embargo, el principio de equivalencia llega a conclusiones totalmente contrarias: Son sistemas inerciales aquellos en los que el observador no experimenta ni aceleración ni atracción gravitatoria alguna, bien por hallarse en caída libre, bien por la inexistencia de grandes masas (que son las que originan la curvatura gravitatoria) en el espacio más cercano. Los cuerpos en caída libre son, por tanto, sistemas inerciales, pero no lo son los observadores situados en la superficie de la tierra (que experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9.8 metros por segundo al cuadrado). Es decir, son sistemas no inerciales aquellos en los que el observador, ora describe un movimiento acelerado no originado por la gravedad, ora experimenta los efectos de ésta.

En general, cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros.

[editar] La contracción del tiempo provocada por la gravedad

La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: La contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz"<ref>En alemán: "Über den Einfluß der Schwerkfraft auf die Ausbreitung des Lichtes"</ref>.

Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se haya en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia (v) multiplicada por la constante de Planck (h): E = hν.

Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: El astronomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul<ref>Ello como consecuencia de la fórmula de Planck, que supone que cuanto más energéticos sean los fotones, más alta es su frecuencia.</ref>. Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones:

<math>\ E_{obs}=E_{con} e^{-\Phi}</math>

<math>\ h \nu_{rec}=h \nu_{em} e^{-\Phi}</math>

<math>\nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}</math>

Donde <math>\ E_{obs}</math> es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrónomo), <math>\ \Phi</math> el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra éste, <math>\ E_{con}</math> la energía conservada del fotón, <math>\nu_{em}</math> la frecuencia de emisión, <math>\nu_{rec}</math> es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y <math>\ h</math> la constante de Planck.

Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón permanece invariante. Por tanto, ¿cómo se posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo (<math>E_{obs}</math>) y la energía conservada del fotón (<math>E_{con}</math>)? La única manera de resolver esta contradicción es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuación

<math>\ \nu_{rec}=\nu_{em} e^{-\Phi}</math>

puede escribirse de este modo:

<math>\ \frac{\mbox{ciclos}}{dt_{obs}}=\frac{\mbox{ciclos}}{dt_{em}} e^{-\Phi}</math>

Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado periodo de tiempo (generalmente, un segundo). Donde <math>dt_{em}</math> es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de éste), mientras que <math>dt_{obs}</math> es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre. De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemáticas:

<math>\ dt_{em} = dt_{obs} e^{-\Phi}</math>

<math>\ dt_{obs} = dt_{em} e^{\Phi}</math>

En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos:

<math>\lim_{r\to 0} dt_{obs}= dt_{em} e^{-\infty} \to \lim_{r\to 0} dt_{obs}= 0</math>

La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmado experimentalmente en el año 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre.

Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre.

Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor. Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la Relatividad Especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.

Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein.

Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.

[editar] Los diferentes tensores y escalares de la Relatividad General

[editar] La derivada covariante

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la Teoría de la Relatividad General es el de derivada covariante (también llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática.

Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad <math>\left(\frac{d \vec v}{dt}\right)</math> es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio.

Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad <math>\left(\frac{D \vec u}{d\tau}\right)</math> ó <math>\nabla_{\vec u} \vec u</math><ref>Ambas notaciones son alternativas.</ref>) es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados).

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, su aceleración ordinaria cambia, pero no su aceleración inercial. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante.

Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial:

<math>\nabla_\beta \vec u = \partial_\beta (u^\alpha \vec e_\alpha)</math>

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

<math>\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha (\partial_\beta \vec e_\alpha)</math>

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente <math>\ \mu</math> de la derivada parcial de <math>\ e_\alpha</math> respecto a <math>\ \beta</math>: <math>\partial_\beta \vec e_\alpha = \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu</math>. De este modo:

<math>\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + u^\alpha \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \vec e_\mu</math>

Realizamos un intercambio de índices (<math>\ \mu</math> por <math>\ \alpha</math>) en el último término del segundo miembro de la ecuación:

<math>\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a) \vec e_\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \vec e_\alpha</math>

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

<math>\nabla_\beta \vec u = (\partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu) \vec e_\alpha</math>

<math>\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu</math>

Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente <math>\ \beta</math> de la tetravelocidad (<math>\ u^\beta = \frac{du}{d \tau}</math>) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

<math>\frac{dx^\beta}{d \tau}\nabla_\beta u^a = \partial_\beta u^a \frac{dx^\beta}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu \frac{dx^\beta}{d \tau}</math>

<math>\nabla_\vec u u^a = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta</math>

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre) <math>\nabla_\vec u u^a = 0</math>, esta última ecuación toma la siguiente forma:

<math>0 = \frac{du^\alpha}{d \tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta</math>

<math>\frac{du^\alpha}{d \tau} = - \Gamma^\alpha_{\mu\beta}u^\mu u^\beta</math>

Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.

[editar] Los principios de general covariancia y acoplamiento mínimo

En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones:

• La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.
• La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico.

<math>\eta _{\mu \nu} \longrightarrow g_{\mu \nu}\left ( x \right ) </math>

<math>\partial_\mu \longrightarrow \nabla_\mu \left ( x \right ) </math>

De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

<math>\partial_\beta u^\alpha = 0 \to \nabla_\beta u^\alpha = 0</math>

Ley de conservación de la energía:

<math>\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0 \to \nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0</math>

Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:

<math>F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta - \partial_\beta A^\alpha</math>

<math>F_{\alpha \beta} = \nabla_\alpha A^\beta - \nabla_\beta A^\alpha</math>

<math>F_{\alpha \beta} = \partial_\alpha A^\beta + \Gamma^\mu_{\beta\alpha}A^\beta -\partial_\beta A^\alpha - \Gamma^\mu_{\alpha\beta}A^\alpha</math>

<math>\Gamma^\alpha_{\mu\beta} = \Gamma^\beta_{\mu\alpha}</math>

Alteración de las leyes físicas producida por la curvatura

Derivada covariante

Objeto o ley físico-matemática	Espacio-tiempo llano	Espacio-tiempo curvo	¿Se produce alteración por la curvatura?
Ley de conservación de la energía	<math>\partial_\alpha T_{\alpha\beta} = 0</math>	<math>\nabla_\alpha T_{\alpha\beta} = 0</math>	Sí
Tensor electromagnético	<math>F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i</math>	<math>F_{ij} = \nabla_i A_j - \nabla_j A_i = \partial_i A_j - \partial_j A_i</math>	No
Ecuaciones de Maxwell	<math></math>	<math></math>	No
Velocidad de la luz	<math>\ c</math>	<math>\ c</math>	No
Ecuación de un sistema inercial	<math>\frac{du_\alpha}{dt} = 0</math>	<math>\nabla_\vec u \vec u = \frac{du_\alpha}{dt} + \Gamma^\alpha_{\beta\nu}u_\beta u_\mu= 0</math>	Sí
Aceleración	<math></math>	<math></math>	Sí
Volumen	<math></math>	<math></math>	Sí

• Ecuación líneas geodésicas

[editar] El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo

Como es sabido la relatividad general explica los campos gravitatorios como un efecto geométrico de la curvatura del espacio-tiempo. Eso significa que el espacio-tiempo en el que vivimos no es plano, y por tanto el tensor de curvatura del mismo es diferente de cero. En teoría de la relatividad general la curvatura queda completamente caracterizada por un el tensor de Riemann asociado al tensor métrico que sirve para medir las distancias, ángulos, superificies y volúmenes. La relación entre las componentes coordenadas del tensor de curvatura de Riemann y los símbolos de Christoffel directamente calculables a partir del tensor métrico es:

{{{1}}}

{\part x^\mu} - \frac{\part \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu}}{\part x^\nu} + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu} \Gamma^{\sigma}_{\beta\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu} \Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}</math>||left}} Como puede verse esta expresión depende de manera no lineal tanto de los símbolos de Christoffel como de la métrica asociada. Esto tiene importantes consecuencias, entre otras que las ecuaciones básicas de la relatividad general no sean lineales y por tanto sea dificil encontrar soluciones exactas de las mismas, a diferencia de lo que sucede por ejemplo con las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético.

Supongamos que:

<math>\ g_{\alpha\beta ,\nu} = 0</math>

<math>\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu} = 0</math>

Pero:

<math>\ g_{\alpha\beta ,\nu\sigma} \not = 0</math>

<math>\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu ,\nu} \not = 0</math>

Entonces:

<math>R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu ,\mu} + \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu ,\nu}</math>

<math>\nabla_{\vec u} \nabla_{\vec u} \xi^\alpha = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}\xi^{\beta}</math>

<math>[\nabla_{\mu} , \nabla_{\nu} ] u^\alpha = R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}u^{\beta}</math>

Bien:

<math>\nabla_\beta \vec u = \partial_\beta u^\alpha + \Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma</math>

Transporte paralelo:

<math>0 = \partial_\beta u^\alpha + \Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma</math>

<math>\partial_\beta u^\alpha = -\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma</math>

<math>\delta u^\alpha = \oint_C -\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma dx_\beta</math>

<math>\delta u^\alpha = \int_S [\nabla \times (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)]^\alpha dS_\alpha</math>

<math>\delta u^\alpha = \int_S [\epsilon_{\alpha\gamma\lambda}\nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] \epsilon_{\alpha\mu\nu} dx^\mu dx^\nu </math>

<math>\delta u^\alpha = \int_S [\epsilon_{\alpha\gamma\lambda} \epsilon_{\alpha\mu\nu} \nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] dx^\mu dx^\nu </math>

<math>\delta u^\alpha = \int_S (\delta^\gamma_\mu \delta^\lambda_\nu -\delta^\lambda_\nu \delta^\gamma_\mu) [\nabla_\gamma (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\lambda] dx^\mu dx^\nu </math>

<math>\delta u^\alpha = \int_S [\nabla_\mu (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\nu - \nabla_\nu (-\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma)_\mu] dx^\mu dx^\nu </math>

<math>\delta u^\alpha = \int_S [\partial_\mu (-\Gamma^\nu_{\sigma\beta} u^\sigma) - \partial_\nu (-\Gamma^\mu_{\sigma\beta} u^\sigma)] dx^\mu dx^\nu </math>

Regla del producto de Leibniz:

<math>\delta u^\alpha = \int_S [-u^\sigma \partial_\mu \Gamma^\nu_{\sigma\beta} - \Gamma^\nu_{\sigma\beta} \partial_\mu u^\sigma + u^\sigma \partial_\nu \Gamma^\mu_{\sigma\beta} + \Gamma^\mu_{\sigma\beta} \partial_\nu u^\sigma] dx^\mu dx^\nu </math>

<math>\partial_\beta u^\alpha = -\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} u^\sigma</math>

<math>\delta u^\alpha = \int_S [-u^\sigma \partial_\mu \Gamma^\nu_{\sigma\beta} - \Gamma^\nu_{\sigma\beta} \partial_\mu u^\sigma + u^\sigma \partial_\nu \Gamma^\mu_{\sigma\beta} + \Gamma^\mu_{\sigma\beta} \partial_\nu u^\sigma] dx^\mu dx^\nu </math>

<math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}

   - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
   + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
   - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math>

[editar] El significado físico del tensor de Ricci

Según la teoría de la gravitación universal, una masa esférica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atracción recíproca de sus moléculas) con una aceleración equivalente a <math>4G\pi \rho\;</math>:

(lefft)

Es evidente, que dicha ecuación no es compatible con la relatividad especial, por las razones reseñadas anteriormente: 1) El parámetro <math>\rho</math>, que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energía-tensión <math>\ T^{\alpha \beta}</math>, que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energía y la presión, y no sólo los de la masa. 2) Por otro lado, según la teoría de la Relatividad General, los efectos gravitatorios no son causados por ningún tipo de "fuerza misteriosa" sino por la curvatura del espacio-tiempo.

En este sentido, en un espacio-tiempo curvo, la aceleración del volumen viene cuantificada por un objeto geométrico específico, el tensor de Ricci <math>\ R^{\alpha \beta}</math>, que puede definirse como la aceleración respecto a <math>\ dx^\alpha</math> del hipervolumen <math>\ d\Pi_\beta</math>, normal al vector unitario <math>\ e_\beta</math>. De este modo, el componente <math>R^00</math> expresa la aceleración temporal del volumen tridimensional:

(left)

Los tensores de energía-momentum y de Ricci permitían expresar de manera tensorial la fórmula de Poisson, y de ahí que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:

<math>\ R^{\alpha\beta} = 4G\pi T^{\alpha\beta}</math>

En Relatividad General, el tensor de Ricci tiene la particularidad de representar aquellos efectos gravitatorios que desaparecen cuando el cuerpo está en caída libre. Es decir, todos menos las fuerzas de marea, que son regidas por el tensor de Weyl, como veremos más abajo.

El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofísicos que tienen lugar a amplias escalas: constituye una medida de la contracción de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas; cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversión en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros; y proporciona una medida de la expansión del universo.

Del tensor de Ricci, particularmente de la forma en que aparece en los campos gravitatorios esféricos (como las estrellas estáticas)<ref>Más adelante analizaremos con profundidad este tema en el capítulo dedicado a la métrica de Schwarzschild.</ref>, se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrostático, que regula el equilibrio entre la presión del fluido estelar<ref>En las estrellas de la secuencia principal, la presión viene integrada por dos elementos diferentes: La presión molecular, que es causada por la energía cinética de los átomos e iones del fluido estelar, y que viene parametrizada por la ecuación de Boltzmann <math>< \frac{1}{2}mv^2 > = \frac{3}{2}kT</math>, y la presión de radiación, que es aquella originada por los fotones. Ambos tipos de presión tienden a compensarse en virtud de un proceso físico denominado Bremsstrahlung (radiación de freno). De este modo, los fotones, que en el núcleo del átomo son generados con niveles de energía correspondientes al especro de los rayos gamma, salen del sol con frecuencias del espectro ultravioleta y sobre todo, del de la luz visible.</ref> (que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este equilibrio se mantiene durante prácticamente toda la vida de la estrella, y sólo se rompe en dos ocasiones diferentes: 1) Cuando la estrella se transforma en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presión de radiación <ref>Dichos efectos se ven incrementados por el desencadenamiento de reacciones termonucleares en todas las capas de la estrella, y no sólo en su núcleo</ref> desbordan los del tensor de Ricci. Como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible, desciende la presión del fluido, y la estrella, bien se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtiéndose en un agujero negro.

• La aceleración del volumen producida por un campo gravitatorio newtoniano
• Reinterpretación de acuerdo con la relatividad general ---> la reducción de volumen es causada por el tensor de Ricci
• La enorme influencia del tensor de Ricci en el desarrollo del universo: Formación de estrellas, tensor de Ricci como contrapeso de la presión (equilibrio hidrostático), posible Big Crunch si y contracción del cosmos si existe suficiente masa en el universo.
• Cálculo del tensor de Ricci a partir de las ecuaciones de universo de Einstein.
• En la rama de las 3-variedades se encuentra en las ecuación de flujo de Ricci que permite demostrar la conjetura de Poincaré, entendiendo que los espacios tridimensionales son parte de las posibilidades físicas de los 3-espacios.

[editar] Las ecuaciones de Universo de Einstein

Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles con la ley de la conservación de la energía. En efecto, la derivada covariante del tensor de energía momentum de cualquier fluido es cero:

<math>\ \nabla_\beta T^{\alpha \beta} = 0</math>

Sin embargo, de las identidades de Bianchi se deduce que la derivada covariante del tensor de Ricci es diferente a cero:

<math>R^{\alpha}_{\beta ( \mu \nu \sigma )} = 0 \to R^{\alpha}_{\beta \mu \nu , \sigma} + R^{\alpha}_{\beta \sigma \mu , \nu} + R^{\alpha}_{\beta \nu \sigma , \mu} = 0</math>

<math>\ \nabla_\beta R^{\alpha \beta} = - \frac{1}{2}R g^{\alpha \beta} \to \nabla_\beta R^{\alpha \beta} \not = 0</math>

Lo que conduce al descarte de cualquier tipo de relación de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de tensión energía:

<math>R^{\alpha \beta} \not = kT^{\alpha \beta}</math>

Todo esto constriñó a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la publicación en 1915 del artículo "Aplicación de la Teoría de la Relatividad General al campo gravitatorio"<ref>En alemán: "Anwendung der allgemeinen Relativitätstheorie auf das Gravitationsfeld"</ref>:

<math>\ R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}R g^{\alpha \beta} = k T^{\alpha \beta}</math>

<math>\ k = 8\pi G</math>

Donde <math>R^{\alpha \beta}</math> es el tensor de Ricci, <math>g^{\alpha \beta}</math> el tensor métrico, <math>R</math> el escalar de Ricci, <math>k</math> la constante de Einstein y <math>T^{\alpha \beta}</math> el tensor de tensión-energía.

<math>\ G^{\alpha \beta} = R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}R g_{\alpha \beta} = 0</math>

<math>\ G^{\alpha \beta} = kT^{\alpha \beta}</math>

Donde,

<math>\ R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}R g_{\alpha \beta} = k T_{\alpha \beta}</math>

<math>\ R_{\alpha \beta} - \frac{k}{2}T g_{\alpha \beta} = k T_{\alpha \beta}</math>

<math>\ R_{00} - \frac{k}{2}T g_{00} = k T_{00}</math>

<math>\ R_{00} = k (T_{00} - \frac{T g_{00}}{2}) </math>

<math>\ T=g^{\alpha\beta}T_{\alpha\beta}= \rho c^2 - p^i</math>

<math>\ \delta^2 V = k (\rho - \frac{\rho c^2 - p^i}{2c^2}) </math>

<math>\ \delta^2 V = 4\pi G (\rho - \frac{p^i}{c^2}) </math>

<math>\ R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} = k T_{\alpha \beta}</math>

<math>\ R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha \beta} = k T_{\alpha \beta}</math>

Las ecuaciones de campo son las siguientes:

<math> R_{ik} - \frac{g_{ik} R}{2} + \Lambda g_{ik} = \frac{8\pi G} {c^4}T_{ik} </math>

Las mismas se pueden deducir de la acción de Einstein-Hilbert (sin constante cosmológica):

<math>S = \int \left[ \frac{c^4}{16 \pi G} \, R + L_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, d^4x </math>

donde R_{ik} es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura de Ricci, g_{ik} es el tensor métrico, Λ es la constante cosmológica, T_{ik} es el tensor de energía, c es la velocidad de la luz, G es la constante gravitatoria universal y g es el determinante de la métrica, de forma similar a lo que ocurre en la gravedad newtoniana. g_{ik} describe la métrica de la variedad y es un tensor simétrico 4 x 4, por lo que tiene 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas espaciotemporales, las ecuaciones independientes se reducen a seis.

Imagen:Gravitation space source.png La ecuación de campo de Einstein contiene un parámetro llamado constante cosmológica Λ que, según algunos autores, fue originalmente introducida por Einstein para permitir un universo estático. Este esfuerzo no tuvo éxito por dos razones: la inestabilidad del universo resultante de tales esfuerzos teóricos, y las observaciones realizadas por Hubble una década después confirman que nuestro universo es de hecho no estático sino en expansión. Así Λ fue abandonada, pero de forma bastante reciente, técnicas astronómicas encontraron que un valor diferente de cero para Λ es necesario para poder explicar algunas observaciones. Otros autores consideran que la introducción de la constante cosmológica por parte de Einstein tiene que ver con su intento por resolver las paradojas de Mach.

[editar] El tensor de Weyl

Es importante notar que, puesto en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene más información que la curvatura de Ricci. Eso significa que las ecuaciones del de campo anteriores, con Λ = 0, no especifican completamente el tensor de curvatura sino una parte del mismo, el tensor de Ricci. La parte de la curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein, coincide precisamente con el tensor de Weyl.

[editar] La constante cosmológica

[editar] Resumen

Significado físico de los diferentes tensores de la Relatividad general

Tensor	Notación	Significado físico
Derivada ordinaria	<math>\frac{du^\alpha}{d\tau}</math>	Aceleración medida por un observador externo en reposo
Derivada covariante	<math>\nabla_{\vec u} \vec u</math>	Aceleración inercial medida por un observador situado en la propia línea de universo del cuerpo observado
Tensor métrico	<math>\ g_{\alpha\beta}</math>	Distancia (o, en su caso, intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio-tiempo
Tensor de Riemann	<math>{R^\alpha}_{\beta\mu\nu}</math>	Aceleración recíproca de dos líneas de universo
Tensor de Ricci	<math>\ R_{\mu\nu}</math>	Aceleración de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen (4 dimensiones)
Escalar de Ricci	<math>\ R</math>	Aceleración de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen
Tensor de Weyl	<math>\ C^\alpha_{\beta\mu\nu}</math>	Fuerzas de marea

[editar] Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein

Matemáticamente las ecuaciones de campo de Einstein son complicadas porque constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales no lineales independientes. La complejidad de dicho sistema de ecuaciones y las dificultades asociadas para plantear el problema como un problema de valor inicial bien definido, hicieron que durante mucho tiempo sólo se contara con un puñado de soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetría. En la actualidad se conocen algunos centenares de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein.

Históricamente la primera solución importante fue obtenida por Karl Schwarzschild en 1915, esta solución conocida posteriormente como métrica de Schwarzschild, representa el campo creado por un astro estático y con simetría esférica. Dicha solución constituye una muy buena aproximación al campo gravitatorio dentro del sistema solar, lo cual permitió someter a confirmación experimental la teoría general de la relatividad explicándose hechos previamente no explicados como el avance del perihelio y prediciendo nuevos hechos más tarde observados como la deflexión de los rayos de luz de un campo gravitatorio. Además las peculiaridades de esta solución condujeron al descubrimiento teórico de la posibilidad de los agujeros negros, y se abrió todo una nueva área de la cosmología relacionada con ellos. Lamentablemente el estudio del colapso gravitatorio y los agujeros negros condujo a la predicción de las singularidades espaciotemporales, deficiencia que revela que la teoría de la relatividad general es incompleta.

Algunas otras soluciones físicamente interesantes de las ecuaciones de Einstein son:

• La métrica de Kerr que describe el campo gravitatorio de un astro en rotación. Esta solución bajo ciertas circunstancias también contiene un agujero negro de Kerr.
• La métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, realmente es un conjunto paramétrico de soluciones asocaidas a la teoría del Big Bang que es capaz de explicar la estructura del universo a gran escala y la expansión del mismo.
• El universo de Gödel, que en su forma original no parece describrir un universo realista o parecido al nuestro, pero cuyas propiedades matemáticamente interesante constituyeron un estímulo para buscar soluciones más generales de las ecuaciones para ver si ciertos fenómenos eran o no peculiares de las soluciones más sencillos.

Por otra parte, el espacio-tiempo empleado en la teoría especial de la relatividad, llamado espacio de Minkowski es en sí mismo una solución de las ecuaciones de Einstein, que representa un espacio-tiempo vacío totalmente de materia.

Fuera de las soluciones exactas y a efectos comparativos con la teoría de campo gravitatorio también es interesante la aproximación para campos gravitatorios débiles y las soluciones en formadas de ondas gravitatorias.

[editar] Predicciones de la Relatividad General

Se considera que la teoría de la relatividad general fue comprobada por primera vez en la observación de un eclipse total de Sol en 1919 realizada por Sir Arthur Eddington en la que se ponía de manifiesto que la luz proveniente de estrellas lejanas se curvaba al pasar cerca del campo gravitatorio solar alterando la posición aparente de las estrellas cercanas al disco del Sol. Desde entonces muchos otros experimentos y aplicaciones han demostrado las predicciones de la relatividad general. Entre algunas de las predicciones se encuentran:

[editar] Efectos gravitacionales

• Desviación gravitacional de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: La frecuencia de la luz decrece al pasar por una región de elevada gravedad. Confirmado por el experimento de Pound-Rebka (1959).
• Dilatación gravitacional del tiempo: Los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atómicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en órbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPS por sus siglas en inglés). También, aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequeños, las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general.
• Efecto Shapiro (dilatación gravitacional de desfases temporales): Diferentes señales atravesando un campo gravitacional intenso necesitan mayor tiempo para atravesar dicho campo.
• Decaimiento orbital debido a la emisión de radiación gravitacional. Observado en púlsares binarios.
• Precesión geodésica: Debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación de un giroscopio en rotación cambiará con el tiempo. Esto está siendo puesto a prueba por el satélite Gravity Probe B.

[editar] Efectos rotatorios

Esto implica el comportamiento del espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo rotante.

• Fricción de marco. Un objeto en plena rotación va a arrastrar consigo al espacio-tiempo, causando que la orientación de un giroscopio cambie con el tiempo. Para una nave espacial en órbita polar, la dirección de este efecto es perpendicular a la precisión geodésica.

• El principio de equivalencia fuerte: incluso objetos que gravitan en torno a ellos mismos van a responder a un campo gravitatorio externo en la misma manera que una partícula de prueba lo haría.

[editar] Otros efectos

• Gravitones: De acuerdo con la teoría cuántica de campos, la radiación gravitacional debe ser compuesta por cuantos llamados gravitones. La relatividad general predice que estos serán partículas de espín 2. Todavía no han sido observados.

[editar] Comprobaciones

La teoría de la relatividad general ha sido confirmada en numerosas formas desde su aparición. Por ejemplo, la teoría predice que la línea del universo de un rayo de luz se curva en las proximidades de un objeto masivo como el Sol. La primera comprobación empírica de la teoría de la relatividad fue a este respecto. Durante los eclipses de 1919 y 1922 se organizaron expediciones científicas para realizar esas observaciones. Después se compararon las posiciones aparentes de las estrellas con sus posiciones aparentes algunos meses más tarde, cuando aparecían de noche, lejos del Sol. Einstein predijo un desplazamiento aparente de la posición de 1,745 segundos de arco para una estrella situada justo en el borde del Sol, y desplazamientos cada vez menores de las estrellas más distantes. Se demostraró que sus cálcalos, sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio, eran exactos. En los últimos años se han llevado a cabo mediciones semejantes de la desviación de ondas de radio procedentes de quásares distantes, utilizando interferómetros de radio. Las medidas arrojaron unos resultados que coincidían con una precisión del 1% con los valores predichos por la relatividad general.

Otra confirmación de la relatividad general está relacionada con el perihelio del planeta Mercurio. Hacía años que sesabía que el perihelio (el punto en que Mercurio se encuentra más próximo al Sol) gira en torno al Sol una vez cada tres millones de años, y ese movimiento no podía explicarse totalmente con las teorías clásicas. En cambio, la teoría de la relatividad sí predice todos los aspectos del movimiento, y las medidas con radar efectuadas recientemente han confirmado la coincidencia de los datos reales con la teoría con una precisión de un 0,5%.

Se han realizado otras muchas comprobaciones de la teoría, y hasta ahora todas parecen confirmarla.

[editar] Relación con otras teorías físicas

En esta parte, la mecánica clásica y la relatividad especial están entrelazadas debido a que la relatividad general en muchos modos es intermediaria entre la relatividad general y la mecánica cuántica.

Sujeto al principio de acoplamiento mínimo, las ecuaciones físicas de la relatividad especial pueden ser convertidas a su equivalente de la relatividad general al reemplazar la métrica de Minkowski (η_ab) con la relevante métrica del espacio-tiempo (g_ab) y reemplazando cualquier derivada normal con derivadas covariantes.

[editar] Inercia

Tanto en mecánica cuántica como en relatividad se asumía que el espacio, y más tarde el espacio-tiempo, eran planos. En el lenguaje de cálculo tensorial, esto significaba que R^a_bcd = 0, donde R^a_bcd es el tensor de curvatura de Riemann. Adicionalmente, se asumía que el sistema de coordenadas era un sistema de coordenadas cartesianas. Estas restricciones le permitían al movimiento inercial ser descrito matemáticamente como:

<math>\ddot{x}^a = 0,</math> donde

• x^a es un vector de posición,
• <math>\dot{} = \partial / \partial\tau</math>, y
• τ es tiempo propio.

Hay que notar que en la mecánica clásica, x^a es tridimensional y τ ≡ t, donde t es una coordenada de tiempo.

En la relatividad general, si estas restricciones son usadas en la forma de espacio-tiempo y en el sistema de coordenadas, éstas se perderán. Ésta fue la principal razón por la cual se necesitó una definición diferente de movimiento inercial. En relatividad especial, el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski como parametrizada por el tiempo propio. Esto se generaliza a espacios curvos matemáticamente mediante la ecuación de las geodésicas:

<math>\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \,\dot{x}^c = 0,</math> donde

• <math>{\Gamma^a}_{bc}</math> es un símbolo de Christoffel (de otro modo conocido como conexión de Levi-Civita).

Como x es un tensor de rango uno, estas ecuaciones son cuatro y cada una está describiendo la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio. (En la métrica de Minkowski de la relatividad especial, los valores de conexión son todos ceros. Esto es lo que convierte a las ecuaciones geodésicas de la relatividad general en <math>\ddot{x}^a = 0</math> para el espacio plano de la relatividad especial).

[editar] Gravitación

En gravitación, la relación entre la teoría de la gravedad de Newton y la relatividad general son gobernadas por el principio de correspondencia: la relatividad general tiene que producir los mismos resultados, así como la gravedad lo hace en los casos donde la física newtoniana ha demostrado ser certera.

Alrededor de objetos simétricamente esféricos, la teoría de la gravedad predice que los otros objetos serán acelerados hacia el centro por la regla <math>\mathbf{F} = M \mathbf{\hat{r}}/r^2</math> donde

• M es la masa del objeto atraído,
• r es la distancia al objeto atraído, y
• <math>\mathbf{\hat{r}}</math> es un vector de unidad identificando la dirección al objeto masivo.

En la aproximación de campo débil de la relatividad general tiene que existir una aceleración en coordenadas idénticas. En la solución de Schwarzschild, la misma aceleración de la fuerza de gravedad es obtenida cuando la constante de integración es puesta igual a 2m (donde m=MG/c^2)

[editar] Electromagnetismo

El electromagnetismo planteó un obstáculo fundamental para la mecánica clásica, debido a que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes según la relatividad galileana. Esto creaba un dilema que fue resuelto por el advenimiento de la relatividad especial.

En forma tensorial, las ecuaciones de Maxwell son

<math>\partial_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}</math>, y
<math>\partial^{a}\,F^{\,bc} + \partial^{b} \, F^{\,ca} + \partial^{c} \, F^{\,ab} = 0</math>, donde

• F ^ab es el tensor de campo electromagnético, y
• J ^a es un corriente-cuatro.

El efecto de un campo electromagnético en un objeto cargado de masa m es entonces

<math>dP^a/d\tau = (q/m)\,P_b\,F^{\,ab}</math>, donde

• P ^a es el cuadrimomento del objeto cargado.

En la relatividad general, las ecuaciones de Maxwell se convierten en

<math>\nabla_a\,F^{\,ab} = (4\pi/c)\,J^{\,b}</math> and
<math>\nabla^a\,F^{\,bc} + \nabla^b \, F^{\,ca} + \nabla^c \, F^{\,ab} = 0</math>.

La ecuación para el efecto del campo electromagnético sigue siendo la misma, aunque el cambio de métrica modificará sus resultados.

[editar] Conservación de energía-momentum

En la mecánica clásica, la conservación de la energía y el momentum son manejados separadamente. En la relatividad especial, la energía y el momentum están unidos en el cuadrimomento y los tensores de energía. Para cualquier interacción física, el tensor de energía-impulso <math>{T_a}^b</math> satisface la ley local de conservación siguiente:

(left)

En la relatividad general, esta relación es modificada para justificar la curvatura, convirtiéndose en:

(left)

Donde ∇ representa aquí la derivada covariante.

A diferencia de la mecánica clásica y la relatividad especial, en la relatividad general no es siempre posible definir claramente la energía total y el momentum. Esto a menudo causa confusión en espacio-tiempos dependientes del tiempo, en los que no existen vectores de Killing temporales, los cuales no parecen conservar energía, aunque la ley local siempre se satisfaga (Ver energía de Arnowitt, Deser y Misner).

[editar] Transición de la relatividad especial a la relatividad general

La teoría de la relatividad especial presenta covariancia de Lorentz esto significa que tal como fue formulada las leyes de la física se escriben del mismo modo para dos observadores que sean inerciales. Einstein estimó, inspirado por el principio de equivalencia que era necesaria una teoría que presentara una para la que valiera un principio de covariancia generalizado, es decir, en que las leyes de la física se escribieran de la misma forma para todos los posibles observadores fueron estos inerciales o no, eso le llevó a buscar una teoría general de la relatividad. Además el hecho de que la propia teoría de la relatividad fuera incompatible con el principio de acción a distancia le hizo comprender que necesitaba además que esta teoría general incorporase una descripción adecuada del campo gravitatorio.

Hoy sabemos que Einstein consideraba que la teoría de la relatividad sólo era aplicable a sistemas de referencia inerciales estrictamente, aunque Logunov ha probado en el marco de la teoría relativista de la gravitación que de hecho fijado un observador inercial o no, cualquier otro que se mueva con velocidad uniforme respecto al primero escribirá las leyes físicas de la misma forma. Probando así que la relatividad especial de hecho es más general de lo que Einstein creyó en su momento. Además el trabajo de Logunov prueba que siempre que el espacio-tiempo sea plano puede establecerse para cada observador existe un grupo decaparamétrico de transformaciones de coordenadas que generaliza las propiedades del grupo de Lorentz para observadores no inerciales.

El principio de geometrización y el principio de equivalencia fueron las piedras angulares en las que Einstein basó su búsqueda de una nueva teoría, tras haber fracasado en el intento de formular una teoría relativista de la gravitación a partir de un potencial gravitatorio. La teoría escalr de la gravitación de Nordström<ref>Ver por ejemplo, Nordström's theory of gravitation</ref> y la interpretación geométrica que extrajo de ella Adriaan Fokker (1914), el estudiante de doctorado de Hendrik Lorentz, llevaron a Einstein a poder relacionar el tensor de energía-impulso con la curvatura escalar de Ricci de un espacio-tiempo con métrica <math>g_{\alpha \beta} = \phi\eta_{\alpha\beta}</math>, que involucraba la métrica del espacio-tiempo plano y un campo escalar relacionado con el campo gravitatorio. La superación de las deficiencias de la teoría de la gravitación escalar de Nordström llevaron a Einstein a formular las ecuaciones correctas de campo.

[editar] Notas

[editar] Véase también

• Convenciones a utilizar en el cálculo tensorial
• Teoría relativista de la gravitación
• Teoría de la Relatividad Especial

[editar] Enlaces externos

• Caída Libre en Relatividad Especial
• Página introductoria a la Relatividad General de la Universidad de Illinois (en inglés)
• Tesis de Juan Antonio Navarro González de la Universidad de Extremadura
• Otero Carvajal, Luis Enrique: "Einstein y la revolución científica del siglo XX, Cuadernos de Historia Contemporánea, nº 27, 2005, INSS 0214-400-X
• ¿Hacia una nueva prueba de la relatividad general? Artículo en Astroseti.org
• http://es.groups.yahoo.com/group/relatividad/ foro sobre relatividad en español
• http://www.geocities.com/angelto.geo/bhole/relativi.htm apuntes sobre relatividad

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