Producto vectorial

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.

Con frecuencia se lo llama también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

[editar] Definición

Imagen:Crossproduct.png

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ℝ³. El producto vectorial entre a y b, como se mencionó antes, da como resultado un nuevo vector, al que llamaremos c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

El módulo de c está dado por

<math>\left \Vert \mathbf{c} \right \Vert = \left \Vert \mathbf{a} \right \Vert \left \Vert \mathbf{b} \right \Vert \sin{\theta}</math>

donde θ es el ángulo entre a y b.

La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla del sacacorchos.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat n \left \Vert \mathbf{a} \right \Vert \left \Vert \mathbf{b} \right \Vert \sin{\theta}</math>

donde <math>\hat n</math> es el versor ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

[editar] Base del espacio vectorial

Sea un sistema de referencia <math> S = \{O; \vec i , \vec j , \vec k \} </math> en el espacio vectorial ℝ³. Se dice que <math> S </math> es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

<math> \langle \vec i , \vec j \rangle = \langle \vec j , \vec k \rangle = \langle \vec k , \vec i \rangle = 0 </math>, es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí;
<math> \left \Vert \vec i \right \Vert = \left \Vert \vec j \right \Vert = \left \Vert \vec k \right \Vert = 1 </math>, es decir, los vectores son ortonormales (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son versores);
<math>\vec i \times \vec j = \vec k </math> ; <math> \vec j \times \vec k = \vec i </math> ; <math> \vec k \times \vec i = \vec j</math>, es decir, siguen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").

En la primera propiedad, <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math> denota producto interno.

[editar] Producto vectorial

Imagen:Producto vectorial 2.png

Sean <math> \vec u = u_x \vec i + u_y \vec j + u_z \vec k </math> y <math> \vec v = v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k </math> dos vectores concurrentes de <math> \mathbb{R}^3 </math>, el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto <math> \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 </math>, y se escribe <math> \vec u \times \vec v </math>, como el vector:

<math>

\vec u \times \vec v = \left( det \begin{pmatrix}

 u_y & u_z \\
 v_y & v_z \\

\end{pmatrix} \cdot \vec i

- det

\begin{pmatrix}

 u_x & u_z \\
 v_x & v_z \\

\end{pmatrix} \cdot \vec j

+ det

\begin{pmatrix}

 u_x & u_y \\
 v_x & v_y \\

\end{pmatrix} \cdot \vec k \right) </math>

En el que

<math>

det \begin{pmatrix}

 a & c \\
 b & d \\

\end{pmatrix}

= a \cdot d - b \cdot c

</math>, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

<math>

\vec u \times \vec v = det \begin{pmatrix}

 \vec i & \vec j & \vec k \\
 u_x & u_y & u_z \\
 v_x & v_y & v_z \\

\end{pmatrix} = det \begin{pmatrix}

 u_y & u_z \\
 v_y & v_z \\

\end{pmatrix} \cdot \vec i - det \begin{pmatrix}

 u_x & u_z \\
 v_x & v_z \\

\end{pmatrix} \cdot \vec j + det \begin{pmatrix}

 u_x & u_y \\
 v_x & v_y \\

\end{pmatrix} \cdot \vec k </math>

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de <math> \vec u \times \vec v </math> es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

[editar] Ejemplo

Sean los vectores:

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

<math>\vec a \times \vec b =

\begin{pmatrix}

 \hat \imath & \hat \jmath & \hat k \\
 2 & 0 & 1 \\
 1 & -1 & 3 \\

\end{pmatrix}</math>

Expandiendo el determinante:

<math>\vec a \times \vec b =

\hat \imath \begin{pmatrix}

 0 & 1 \\
 -1 & 3 \\

\end{pmatrix} + (-1) \hat \jmath \begin{pmatrix}

 2 & 1 \\
 1 & 3 \\

\end{pmatrix} + \hat k \begin{pmatrix}

 2 & 0 \\
 1 & -1 \\

\end{pmatrix} = \left ( 0 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \right )\hat \imath + (-1) \left ( 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \right )\hat \jmath + \left ( 2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 \right )\hat k = \hat \imath - 5 \hat \jmath - 2 \hat k</math>

Por lo tanto

<math>\vec a \times \vec b = (1,-5,-2)</math>

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b utilizando el producto escalar y verificando que éste da cero como resultado (condición de perpendicularidad de vectores).

[editar] Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores <math> \vec a </math>, <math> \vec b </math> y <math> \vec c </math> en <math> \mathbb{R}^3 </math>:

<math> \vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a </math>, (anticonmutatividad)
<math> \langle \vec a , (\vec a \times \vec b) \rangle = \langle \vec b , (\vec a \times \vec b) \rangle = 0 </math> (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),
Si <math> \vec a \neq \vec 0 </math> y <math> \vec b \neq \vec 0 </math> entonces <math> \vec a \times \vec b = \vec 0 \Longleftrightarrow \vec a || \vec b </math> (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).
<math> ( \vec a + \vec b ) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c </math>,
<math>\vec a \times ( \vec b \times \vec c ) = \langle \vec a , \vec c \rangle \vec b - \langle \vec a , \vec b \rangle \vec c </math>

[editar] Otras propiedades

Continuando con los vectores del apartado anterior y con el operador norma habitual:

<math> \langle \vec a , (\vec b \times \vec c) \rangle = \langle (\vec a \times \vec b) , \vec c) \rangle </math>. El valor absoluto de esta operación corresponde al volumen del paralelepípedo formados por los vectores <math>\vec a</math>, <math>\vec b</math> y <math>\vec c</math>. A esta operación se la conoce como producto mixto, pues combina producto escalar y producto vectorial.
<math> \| \vec a \times \vec b \| = \| \vec a \| \cdot \| \vec b \| \cdot \sin \theta </math>, siendo <math> \theta </math> el ángulo menor entre los vectores <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math>; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
El vector <math> \vec n = \frac{ \vec a \times \vec b }{\| \vec a \times \vec b \|} </math> es el vector normal al plano que contiene a los vectores <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math>.

[editar] Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

[editar] Dual de Hodge

Artículo principal: Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:</br> </br>

<math>\vec{a} \times \vec{b} = *(\phi_\vec{a} \wedge \phi_\vec{b})</math>

</br> Donde <math>\phi_\vec{a}, \phi_\vec{b}</math> denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

El producto vectoral sólo es definible en tres dimensiones no existe ninguna extensión posible a otras dimensiones, cosa que puede probarse examinando la dimensionalidad del espacio de las (d-2)-formas y el de las 1-formas que solo coinciden para d = 3.

[editar] Otras operaciones vectoriales

Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones externas:

producto escalar
producto vectorial
producto tensorial.

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias (ver operador norma) de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, <math> \mathbb{R}^3 </math>, el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial se define en ℝ³.