Potencia de un punto

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Imagen:PotenciaPunto.svg

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Relación con semejanza
3 El caso de la tangente
4 Lugares geométricos
5 Construcción de la media geométrica de dos segmentos
6 Véase también
7 Referencias
8 Notas

[editar] Definición

Si P es un punto y C un círculo fijo, la potencia del punto P respecto a C es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia alineados con P.

Imagen:PotenciaPunto-ext.svg De manera más formal, si P es un punto y una recta que pasa por P corta a la circunferencia en A, B, la potencia de P se define como el producto PA × PB. el cual es independiente de la elección de la recta, como se muestra en la figura.

El punto P puede estar localizado en cualquier parte del plano, no sólo en el interior del círculo. Usualmente se consideran segmentos dirigidos <ref>Dos segmentos paralelos o colineales dirigidos tienen el mismo signo si apuntan en la misma dirección y tienen signo opuesto cuando apuntan en dirección contraria. Esto es similar al concepto de vector</ref> por lo que hay 3 casos para el signo de la potencia:

Si el punto P está en el interior del círculo, la potencia toma valor negativo, pues PA y PB tienen sentido opuesto.
Si el punto P está en el exterior del círculo, la potencia toma valor positivo.
Si el punto P está sobre la circunferencia, la potencia es igual a cero (pues A=P o B=P).

[editar] Relación con semejanza

Imagen:PotenciaPunto-prueba.svg

El hecho de que la potencia de un punto sea independiente de la recta está relacionado con semejanza de triángulos. Dibujando dos secantes y uniendo los puntos A y los puntos B respectivamente, obtenemos dos triángulos A₁PB₁ y A₂PB₂

Los ángulos PA₁A₂ y PB₂B₁ son iguales, ambos miden la mitad del arco B₁A₂. Como el ángulo A₁PB₁ es igual al ángulo A₂PB₂, los triángulos A₁PB₂ y A₂PB₁ son semejantes.

De la semejanza se tiene que

por lo que

[editar] El caso de la tangente

Imagen:PotenciaPunto-tangente.svgUn caso especial se obtiene cuando el punto es exterior y la recta es tangente al círculo. Si PT es una tangente al círculo, entonces la relación de potencia de punto se convierte en PA · PB = PT². La prueba es similar a la dada para el caso general, obteniendo aquí que los triángulos PTB y PAT son semejantes. Intuitivamente, puede entenderse la relación anterior como el caso límite en que los puntos A y B coinciden.

[editar] Lugares geométricos

Imagen:PotenciaPunto-radiodistancia.svg

Dado un círculo C y un número k fijos, nos podemos preguntar por todos aquellos puntos que tengan el número escogido como su potencia. En otras palabras, nos preguntamos por el lugar geométrico de los puntos cuya potencia respecto a C es igual a k.

La respuesta a la pregunta anterior se obtiene mediante la fórmula radio-distancia, que permite calcular la potencia de un punto si se conoce el radio del círculo y la distancia del punto al centro.

Tracemos el diámetro del círculo que pasa por P. Si calculamos la potencia sobre el diámetro obtenemos (r-d)(r+d)=r²-d², Sin embargo, tal operación no toma en cuenta que d-r y d tienen sentidos opuestos, por lo que un ajuste de signos nos da el resultado

<math>PA\cdot PB = d^2 - r^2</math>.

Imagen:PotenciaPunto-lgeom.svgLa fórmula anterior, nos permite calcular la potencia conociendo el radio del círculo y su distancia al centro. Como consecuencia, todos los puntos a una misma distancia del centro tienen la misma potencia, y viceversa, puntos con la misma potencia son equidistantes del centro.

Un problema similar consiste en determinar el conjunto de puntos cuyas potencias respecto a dos círculos fijos son iguales. En este caso, el lugar geométrico consiste en una recta, denominada eje radical.

[editar] Construcción de la media geométrica de dos segmentos

Imagen:PotenciaPunto-mediageom.svgUna aplicación de la potencia de un punto, es permitir una construcción de la media geométrica de dos segmentos. Dados dos segmentos de longitudes m y n, la media geométrica es un segmento de longitud <math>\sqrt{mn}</math>. El caso en que m=n es trivial puesto que la media geométrica es igual a ambos. Supongamos entonces que m<n.

Dibújese un segmento PA de longitud n, y dentro de él encuéntrese un punto B tal que PB tenga longitud n. Constrúyase un círculo con diámetro AB, el cual tiene longitud n-m. Finalmente, trácese la tangente a tal círculo desde P. Por la propiedad de la tangente, PT²=PA·PB=m·n, por lo que PT tiene longitud <math>\sqrt{mn}</math>. Es decir, PT es la media geométrica de PA y PB.