Polinomios de Legendre

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Nota: Se lo conoce también de manera mas general como Polinomios asociados de Legendre, simplificado como Polinomios de Legendre.

En matemáticas, las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre:

<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.</math>

Eran llamados antes como Adrien-Marie Legendre Estas ecuación diferencial ordinaria se la encuentra frecuentemente en Física y en otros campos tecnicos. En particular, aparecen cuando se resuelven Ecuaciones de Laplace (y relacionados a las Ecuaciones Diferenciales Parciales) en coordenadas esféricas.

La ecuacion diferencial de Legendre puede resolversela usando el metodo estandar de serie de potencias. La solucion es finita (por ejemplo la convergencia de series) provee|x| < 1. Es mas, es finito en x = ± 1 proporciona un n que es un numero entero no negativo, por ejemplo n = 0, 1, 2, ... . En este caso, las soluciones forman una secuencia polinomial de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.

Cada polinomio de Legendre P_n(x) es un polinomio de grado n. Este puede ser expresado usando la Fórmula de Rodríguez:

<math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]. </math>

Tabla de contenidos

1 La propiedad de ortogonalidad
2 Ejemplos de polinomios de Legendre
3 Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en Física
4 Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre
5 Traslación de los polinomios de Legendre
6 Polinomios de Legendre de orden fraccional
7 Véase también
8 Enlaces externos
9 Referencias

[editar] La propiedad de ortogonalidad

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que estos son ortogonales con respecto a un producto interno L² en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:

<math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>

(donde δ_mn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos). De hecho, una derivacion alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a cabo procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1, x, x², ...} con respecto a un producto interno. La razon de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuacion diferencial de Legendre puede ser vista como un problema de Sturm-Lioville

<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] = -\lambda P(x),</math>

donde los valores propios λ corresponden a n(n+1).

[editar] Ejemplos de polinomios de Legendre

Unos pocos primeros polinomios de Legendre:

n	<math>P_n(x)\,</math>
0	<math>1\,</math>
1	<math>x\,</math>
2	<math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,</math>
3	<math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,</math>
4	<math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,</math>
5	<math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,</math>
6	<math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,</math>
7	<math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,</math>
8	<math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,</math>
9	<math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,</math>
10	<math>\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,</math>

Los graficos de estos polinomios (menores a n=5) se grafican abajo:

Imagen:Legendre poly.svg

[editar] Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en Física

Los polinomios de Legendre son utiles en la expansion de funciones como

<math>

\frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma) </math>

donde <math>r</math> y <math>r'</math> son las longitudes de los vectores <math>\mathbf{x}</math> y <math>\mathbf{x}^\prime</math> respectivamente y <math>\gamma</math> es el angulo entre los dos vectores. La expansion mantiene <math>r>r'</math>. Esta expresion esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que se siente en un punto <math>\mathbf{x}</math> mientras la carga esta localizada en el punto <math>\mathbf{x}'</math>. La expansion usando polinomios de Legendre puede ser util para integrar esta expresion sobre una carga continua distribuida.

Los polinomios de Legendre aparecen en la solucion de una Ecuación de Laplace de un potencial, <math>\nabla^2 \Phi(\mathbf{x})</math>, en una region del espacio de carga libre, usando el metodo de separación de variables, donde las condiciones limite tienen simetria axial (no depende del angulo azimuthal). Donde <math>\widehat{\mathbf{z}}</math> es el eje de simetria y <math>\theta</math> es el angulo entre la posicion del observador y el eje <math>\widehat{\mathbf{z}}</math>, la solucion del potencial podria ser

<math>

\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta). </math>

<math>A_\ell</math> y <math>B_\ell</math> estan determinados de acuerdo con las condiciones limite de cada problema <ref>Jackson, J.D. Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley & Sons, 1999. page 103</ref>.

Polinomios de Legendre en expansion multipolo

Imagen:Point axial multipole.png

Figure 2

Los polinomios de Legendre son también utiles en la expansion de funciones de la forma (esto es similar al caso anterior, escrito un poco diferente):

<math>

\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x) </math>

que aparece naturalmente en expansión multipolo. La parte izquierda de la ecuacion es la función generadora de los polinomios de Legendre.

Como en el ejemplo, del potencial eléctrico <math>\Phi(r, \theta)</math> (en coordenadas esféricas) debido a una carga puntual localizada en el eje z en <math>z=a</math> (Fig. 2) varia como

<math>

\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}} </math>

Si el radio r del punto de observacion P es mas grande que a, el potencial puede expanderse en polinomios de Legendre

<math>

\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^{k} P_{k}(\cos \theta) </math>

donde se define <math>\eta = a/r < 1</math> y <math>x = \cos \theta</math>. Esta expancion es usada para mejorar la expansión multipolo normal.

Por el contrario, si el radio r del punto de observacion P es mas pequeño que a, el potencial puede aun ser expandido en los polinomios de Legendre como por encima, pero con a y r cambiados.

[editar] Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son simetricos o antisimetricos, tal que

Desde que la ecuacion diferencial y la propiedad ortogonal son escalarmente independientes, los polinomios de Legendre definidos son estandarizados (a veces llamados normalizados, pero notese que la actual norma no es la unidad) por ser escalar tal que

La derivada en un punto final esta dado por

Los polinomios de Legendre pueden construirse usando las tres relaciones de recurrencia

Util para la integracion de polinomios de Legendre es

<math>(2n+1) P_n = {d \over dx} \left[ P_{n+1} - P_{n-1} \right].</math>

[editar] Traslación de los polinomios de Legendre

La traslacion de los polinomios de Legendre <math>\tilde{P_n}(x)</math> estan definidos como un intervalo unitario ortogonal [0,1]

<math>\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.</math>

Una expresion explicita para estos polinomios viene dado por

<math>\tilde{P_n}(x)=(-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.</math>

La analogia a la Fórmula de Rodríguez para la traslacion de los polinomios es:

<math>\tilde{P_n}(x) = ( n!)^{-1} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\, </math>

La primera traslacion de los polinomios de Legendre es:

n	<math>\tilde{P_n}(x)</math>
0	1
<math>1</math>	<math>2x-1</math>
2	<math>6x^2-6x+1</math>
3	<math>20x^3-30x^2+12x-1</math>

[editar] Polinomios de Legendre de orden fraccional

Los polinomios de Legendre de orden fraccional esisten y siguen a la insercion de la derivada fraccional como definicion al Cálculo Fraccional y a los factoriales no enteros (definidos por una función gamma) en una Fórmula de Rodríguez. Los exponentes, seguramente, tienen de exponentes fraccionalees que representan raices.