Onda mecánica

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Imagen:2006-01-14 Surface waves.jpg

Una onda mecánica es una perturbación que se propaga a través de un medio elástico y transporta energía sin un transporte neto de materia. Por medio elástico se entiende aquel que, pasada la perturbación es capaz de retomar a su forma inicial.

Para que se produzca una onda mecánica son necesarias las siguientes condiciones:

Una fuente de perturbación.
Un medio a través del cual se propague la perturbación.
Un mecanismo por medio del cual las partículas del medio interactúen entre sí para intercambiar energía.

La fuente de perturbación provoca que las partículas que componen el medio oscilen alrededor de una posición de equilibrio por lo que su desplazamiento neto es igual a cero. Al interactuar las partículas unas con otras se transfiere la energía desde una partícula hacia su vecina, sin embargo no hay transporte neto de la materia que constituye el medio.

Las ondas mecánicas, debido a su mecanismo de expansión cuentan con las siguientes características:

La onda se propaga desde la fuente en todas las direcciones en que le sea posible.
Dos ondas pueden entrecruzarse en el mismo punto del medio sin modificarse una a la otra.
La velocidad de la onda es una propiedad dependiente únicamente de las características físicas del medio, salvo en ondas a flexión en la que son también función de la frecuencia.

Como ejemplo de ondas mecánicas se encuentra el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella.

Las ondas que se forman en la superficie del agua en forma de círculos concéntricos cuando un cuerpo golpea la superficie es otro caso de ondas mecánicas.

El sonido es también un ejemplo de una onda mecánica y como tal necesita un medio para propagarse, normalmente la atmósfera, estando constituido por una variación de la presión atmosférica. Debido a esta característica no puede propagarse por el vacio, de ahí que en el espacio no haya sonido.

Tabla de contenidos

1 Descripción matemática de una onda mecánica unidimensional
2 Ecuación de una onda mecánica
3 Ondas transversales y longitudinales
4 Véase también

[editar] Descripción matemática de una onda mecánica unidimensional

Imagine una cuerda tensa de longitud infinita o extremadamente larga. Si se toma un extremo de la misma y se la agita una sola vez moviendo la mano hacia arriba y hacia abajo, se producirá una perturbación que viajará a lo largo de esta. Esto se lo conoce como pulso. En cambio, si producimos perturbaciones de forma periódica, estaremos creando un tren de ondas.

Para representar la perturbación de un punto de la cuerda en cualquier instante de tiempo, es necesario considerar dos variables: x (posición) y t(tiempo). Esta ecuación puede expresarse como:

<math> \varepsilon\ = f(x,t) </math>

Si graficamos una perturbación en un eje cartesiano, notaremos que la forma de pulso no cambia con el tiempo, por lo tanto, la perturbación en <math> \ t=0 </math>, será igual que en <math> \ t=t_{1} </math>. De esta manera planteamos:

<math> \varepsilon\ = f(x_{o},0) = f (x_{1},t_{1}) </math>

Pero como <math> v = \frac{x}{t} \Rightarrow x = v.t \Rightarrow x_{1} = x_{o} + v.t \Rightarrow x_{o} = x_{1} - v.t </math>

entonces

<math> \varepsilon\ = f(x_{o},0) = f (x_{1},t_{1}) = f [(x_{1} - v. t_{1}),0] </math>

Si el medio no cambia, la velocidad de desplazamiento permanecerá constante. Y si el pulso no sufre ninguna deformación podemos escribir cualquier onda en un espacio <math> (\varepsilon\ , x)</math> que se desplace por una cuerda como:

<math>\varepsilon\ = f (x_{1} \pm v. t_{1})</math>

Usando el signo + si la onda se desplaza de derecha a izquierda, y el signo - cuando se desplaza de izquierda a derecha.

Ahora consideremos cuando la perturbación se desplaza en un espacio <math> (\varepsilon\ , t)</math>.

Como la deformación no varía a través del tiempo podemos escribir:

<math> \varepsilon\ = f(t_{o}, x_{o}) = f (t_{1},x_{1}) </math>

El intervalo de tiempo que existió es <math> \Delta t = \frac{x_{1} - x_{o}}{v} </math>

Como <math> \ t_{o} = t_{1} - \Delta t</math> si <math> \ x_{o} = 0 \Rightarrow t_{o} = t_{1} - \frac{x_{1}}{v}</math>

Reemplazando en la ecuación inicial y tomando a <math> \ x_{1} </math> como un punto cualquiera de la cuerda resulta:

<math> \varepsilon\ = f (t \pm \frac{x}{v}) </math>

Usando el signo + si la onda se desplaza de derecha a izquierda, y el signo - cuando se desplaza de izquierda a derecha.

[editar] Ecuación de una onda mecánica

Considerando la función de una onda <math> \varepsilon\ (x_{1} - v. t_{1}) </math> y usando a una función auxiliar <math> \ u = (x_{1} - v. t_{1}) </math> podemos calcular las derivadas parciales primeras y segundas de <math> \varepsilon \ en \ x \ y \ en \ t</math>.

Respecto de x:

<math> \frac{ \partial \varepsilon} { \partial x } = \frac{ \partial \varepsilon} { \partial x } \frac{ \partial u} { \partial u } = \frac{ \partial \varepsilon} { \partial u } \frac{ \partial u} { \partial x } = \frac{ \partial \varepsilon} { \partial u} </math>

<math> \frac{ \partial^2 \varepsilon} {\partial x^2 } = \frac{ \partial } { \partial x } \bigg( \frac{ \partial \varepsilon} { \partial u } \bigg) = \frac{ \partial^2 \varepsilon} { \partial u^2 } \frac{ \partial u} { \partial x} = \frac{ \partial^2 \varepsilon} { \partial u^2 } </math>

Respecto de t:

<math> \frac{ \partial \varepsilon} { \partial t } = \frac{ \partial \varepsilon} { \partial t } \frac{ \partial u} { \partial u } = \frac{ \partial \varepsilon} { \partial u } \frac{ \partial u} { \partial t } = (-v). \frac{ \partial \varepsilon} { \partial u} </math>

<math> \frac{ \partial^2 \varepsilon} {\partial t^2 } = \frac{ \partial } { \partial t } \bigg( (-v) \frac{ \partial \varepsilon} { \partial u } \bigg) = (-v) \frac{ \partial^2 \varepsilon} { \partial u^2 } \frac{ \partial u} { \partial x} = v^2 \frac{ \partial^2 \varepsilon} { \partial u^2 } </math>

Igualando ambas ecuaciones resulta:

<math> \frac{ \partial^2 \varepsilon} {\partial x^2 }= \frac{ \partial^2 \varepsilon} {v^2 \partial t^2 } </math>

Resolviendo las derivadas podemos llegar a la siguiente expresión:

<math> \varepsilon (x,t) = \varepsilon_{o}. sen \big( (k.x \pm w.t) + \varphi_{o} \big) </math>

Donde epsilon cero <math>( \varepsilon_{o})</math> es la máxima amplitud de la onda en un punto. K es el número de onda, que equivale al número de ondas completas en un distancia de <math>\ 2\pi</math> y su unidad es <math> m^-1 </math>. <math> \ w </math> es la velocidad angular y es igual a <math>\ 2\pi f</math>, y <math> \mathcal \varphi_{o} </math> es el ángulo de desfase inicial.

Usando el signo + si la onda se desplaza de derecha a izquierda, y el signo - cuando se desplaza de izquierda a derecha.

Nota: El desarrollo matemático recién expuesto corresponde a ondas mecánicas en condiciones ideales, donde la velocidad de propagación es constante y no existe amortiguación.

[editar] Ondas transversales y longitudinales

Las ondas transversales son aquellas en las cuales las partículas del medio elástico oscilan en dirección perpendicular a la del desplazamiento de la onda. Por ejemplo en una cuerda tensada horizontalmente, las partículas de la cuerda se sacuden hacia arriba y hacia abajo, mientras que la onda se propaga a lo largo de la cuerda.

Las ondas longitudinales son aquellas en las cuales las partículas del medio elástico oscilan paralelamente a la dirección de desplazamiento de la onda. Las ondas sonoras son un ejemplo de ondas longitudinales.

En el caso de las ondas formadas en la superficie del agua, se trata de una mezcla de ambas, ya que si se coloca un cuerpo que flote en su superficie, se puede observar que cuando pasa una ola, éste se desplaza hacia arriba y hacia abajo, así como hacia adelante y hacia atrás, describiendo un círculo, por lo que se concluye que las olas tienen tanto componentes de desplazamiento transversal como longitudinal.