Ley de elasticidad de Hooke
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En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que la deformación ε de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:
- <math> \epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AE} </math>
Donde ΔL: alargamiento longitudinal, L: Longitud original, E: módulo de Young o módulo de elasticidad, A sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite de elasticidad.
Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico comtemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").
Tabla de contenidos |
[editar] Ley de Hooke para los resortes
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida por el resorte con la distancia adicional x producida por alargamiento del siguiente modo:
- <math>F = -k\Delta x \, </math>, siendo <math> k = \frac{AE}{L}</math>
Donde k se llama constante del resorte (también constante de rigidez) y <math> \Delta x </math> es la separación de su extremo respecto a su longitud natural. La energía de deformación o energía potencial elástica <math>U_k</math> asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
- <math>U_k=\frac{1}{2} kx^2 </math>
Para los resortes reales, esta ley anterior y la ecuación de la energía sólo son válidas por debajo de un cierto valor del cociente de la tensión F/A < σE, tras superar ese límite el material sufre internamente transformaciones termodinámicas irreversibles y pierde la capacidad de recuperar su longitud original al retirar la fuerza aplicada, persistiendo un remanente de deformación denominado deformación plástica. Originalmente la ley se utilizaba solo para resortes sometidos a tracción pero también es válida en resortes o materiales sometidos a compresión.
[editar] Ley de Hooke en sólidos elásticos
En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:
| (left) |
[editar] Caso unidimensional
En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direccioner perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar σ = σ11, ε = ε11, C11 = E y la ecuación anterior se reduce a:
| (left) |
Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young.
[editar] Caso tridimiensional isótropo
Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (ν). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:</br> </br>
- <math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}</math>
- <math>\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}</math>
- <math>\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}</math>
</br> En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:</br> </br>
- <math>
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx}\\
\varepsilon_{yy}\\
\varepsilon_{zz}\\
\varepsilon_{xy}\\
\varepsilon_{xz}\\
\varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\
-\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\
-\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} \\
& & & \frac{1+\nu}{E} & 0 & 0 \\
& & & 0 & \frac{1+\nu}{E} & 0 \\
& & & 0 & 0 & \frac{1+\nu}{E} \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\sigma_{xx}\\
\sigma_{yy}\\
\sigma_{zz}\\
\sigma_{xy}\\
\sigma_{xz}\\
\sigma_{yz}
\end{pmatrix} </math> </br> Las relaciones inversas vienen dadas por:</br> </br>
- <math>
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}\\
\sigma_{yy}\\
\sigma_{zz}\\
\sigma_{xy}\\
\sigma_{xz}\\
\sigma_{yz}
\end{pmatrix}
=
\frac{E}{1+\nu} \begin{pmatrix}
\frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\
\frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\
\frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & & & \\
& & & 1 & 0 & 0 \\
& & & 0 & 1 & 0 \\
& & & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx}\\
\varepsilon_{yy}\\
\varepsilon_{zz}\\
\varepsilon_{xy}\\
\varepsilon_{xz}\\
\varepsilon_{yz}
\end{pmatrix} </math>
[editar] Véase también
da:Hookes lov de:Hookesches Gesetz el:Νόμος του Χουκ en:Hooke's law et:Hooke'i seadus fi:Hooken laki fr:Loi de Hooke he:חוק הוק hr:Hookeov zakon hu:Hooke-törvény it:Legge di Hooke ja:振動運動#.E3.83.95.E3.83.83.E3.82.AF.E3.81.AE.E6.B3.95.E5.89.87 ko:훅의 법칙 lt:Huko dėsnis lv:Huka likums nl:Wet van Hooke pl:Prawo Hooke'a pt:Lei de Hooke ru:Закон Гука simple:Hooke's Law sk:Hookov zákon sl:Hookov zakon sv:Hookes lag uk:Закон Гука zh:胡克定律
