Homeomorfismo

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Este término no debe confundirse con homomorfismo.

En la topología, un homeomorfismo es un isomorfismo topológico. Estos isomorfismos, son la herramienta principal para estudiar las propiedades de los espacios topológicos. Los criterios intuitivos de estirar, doblar, cortar y pegar toma una cierta cantidad de práctica para aplicarse correctamente: deformar un segmento de línea hasta un punto no es permitido, por ejemplo. Contraer de manera continua un intervalo hasta un punto es otro proceso topológico de deformación llamado homotopía.

Imagen:Mug and Torus morph.gif

[editar] Definición formal

Más exactamente, suponga que X y Y son espacios topológicos, y f una función de X a Y. Entonces f es un homeomorfismo si y sólo si se cumple lo siguiente:

f es una biyección
f es continua
<math> f^{-1}\,\!</math> (la inversa de f) es continua

Si <math> f: X \to Y</math>es un homeomorfismo, Y se dice homeomorfo a X. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.

[editar] Difeomorfismos

Un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables, es decir, es un isomorfismo de variedades diferenciables.

Un ejemplo ilustrativo para distinguir entre homeomorfismo y difeomorfismo es el siguiente: el borde de un disco y el borde de un cuadrado son homeomorfos, mas no difeomorfos.