Gradiente
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Imagen:Gradient2.svg El gradiente de un campo escalar en un punto es un vector, definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como
- <math>\frac{\partial \phi}{\partial n} = (\rm grad \phi)\cdot \hat n</math>
siendo <math>\hat n</math> un vector unitario y <math>\partial\phi/\partial n</math> la derivada direccional de <math>\phi \,\!</math> en la dirección de <math>\hat n</math>, que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:
- <math>\frac{\partial \phi}{\partial n} \equiv \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\phi(\vec r + \epsilon \hat{n})-\phi(\vec r)}{\epsilon}</math>
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:
- <math>d\phi = \phi\left(\vec r + d\vec r\right)-\phi\left(\vec r\right) = \nabla\phi\cdot d\vec r</math>
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca.
El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla: <math>{\rm grad}\phi = \nabla\phi</math>
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[editar] Interpretación del Gradiente
De forma geometrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llamese <math>(x, y) \,\!</math>, <math>(x, y, z) \,\!</math>, <math>(tiempo, temperatura) \,\!</math> etcetera, algunos ejemplos son:
Considere un cuarto en el cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto <math>(x, y, z) \,\!</math>, la temperatura es <math>\phi(x, y, z) \,\!</math>. Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto del cuarto, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
Ahora considere una montaña en la cual su altura en el punto <math>(x, y) \,\!</math> se define como <math>H(x, y) \,\!</math>. El gradiente de H en ese punto estará en la dirección del punto a mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará qué tan empinada se encuentra la pendiente.
[editar] Aproximación lineal de una función
El gradiente de una función <math>f</math> definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular <math>x_0</math> en Rn. Se expresa así:
- <math> g(x) = f(x_0) + (\nabla_x f(x_0))^T (x-x_0) </math>
donde <math>\nabla_x f(x_0)</math> es el gradiente evaluado en <math>x_0</math>.
[editar] Propiedades
El gradiente verifica que:
- Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por <math>\phi\,\!</math> =cte...
- Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
- Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
- Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)
- El campo formado el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,
<math> \nabla\times(\nabla\phi) \equiv \vec{0} </math>
[editar] Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.
En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente
- <math>
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z} </math>
En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión
- <math>
\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1 +\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+ \frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3 </math>
Para coordenadas cilíndricas (<math>h_\rho=h_z=1</math>, <math>h_\varphi=\rho</math>) resulta
- <math>
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z} </math>
y para coordenadas esféricas (<math>h_r=1</math>, <math>h_\theta=r</math>, <math>h_\varphi=r {\rm sen}\theta</math>)
- <math>
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+ \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi} </math>
[editar] Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de <math>\vec F</math> un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento
<math> d\vec F = \vec F(\vec r + d\vec r) - \vec F(\vec r) = (\nabla\vec F)\cdot d\vec r </math>
Este tensor podrá representarse por una matriz <math>3\times 3</math>, que en coordendas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.
[editar] Ejemplo
Dada la función <math>f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin(z)</math> su vector gradiente es:
- <math>\nabla f= \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.</math>
[editar] Aplicaciones en física
El gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico
<math> \vec E = -\nabla\phi </math>
Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como
<math> \vec F = -\nabla V </math>
Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas
<math> \vec q = -k \nabla T </math>
siendo <math>k</math> la conductividad térmica.bg:Градиент ca:Gradient cs:Gradient de:Gradient (Mathematik) en:Gradient fr:Gradient he:גרדיאנט it:Gradiente ja:勾配 nl:Gradiënt pl:Gradient pt:Gradiente ru:Градиент sk:Gradient sl:Gradient sv:Gradient zh:梯度
