Geometría

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La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.

También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

Tabla de contenidos

1 Historia de la Geometría
2 Método sintético de la Geometría
3 Métodos analíticos de estudio de las geometrías
4 Véase también
5 Enlaces externos

[editar] Historia de la Geometría

La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con Regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.

Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

Como gran representante tómese a la Topología geométrica, una ciencia donde sus objetos, métodos y propiedades utilizan y desarrollan construcciones muy importantes: como el Polinomio de Jones —sofisticada construcción relacionada a los nudos en 3-variedades— que muestra muchas misteriosas conexiones de esta (topología de dimensiones bajas) con la física moderna. Otro buen ejemplo es la teoría de Blow Ups de la Geometría algebraica.

[editar] Método sintético de la Geometría

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, por ello es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores. Para conseguirlo, se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.

El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.

Se distinguen tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas.

Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta lo siguiente: las definiciones, axiomas y teoremas no pretenden (o no solo pretenden) describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelo). Esto lo que significa es que en adelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual para nosotros. Si conservamos las ideas de punto, recta y plano en nuestra mente como lo que todo el mundo comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas, nos parecerán evidentes y carentes de importancia. Eso es porque consideramos un único modelo de geometría, muy relacionado con el espacio físico, que es precisamente el modelo sobre el que nos basamos para crear el sistema axiomático. Pero siendo rigurosos, cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo "tradicional". Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado <math>f(x)= ax^2 + bx +c </math>, si una recta es para nosotros entonces una familia de polinomios de la siguiente manera <math>\{ \lambda \cdot f(x): \lambda \in \mathbb{R}\}</math> y un plano es entendido como el conjunto <math>\{ \lambda \cdot f(x) + \mu \cdot g(x) : \lambda, \mu \in \mathbb{R} \}</math>, es posible ver que TODOS los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo.

[editar] Axiomas

Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros (del punto, la recta o el plano).

En las distintas geometrías sintéticas se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra:

[editar] Existencia e Incidencia

Son aquellos axiomas que nos dan las condiciones para asegurar la existencia de puntos, rectas y planos y cómo inciden unos en otros.

Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano).

Para determinar una recta, son necesarios dos puntos distintos (y solo dos). En cambio, para determinar un plano son necesarios tres, y que los tres no determinen una recta.

Si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano. Si dos puntos de una recta están en otra recta, ambas rectas coinciden (son las mismas).

[editar] Ordenación

Ordenación en la recta: Estos axiomas ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o, mejor dicho, como nuestro ideal de recta. Téngase en cuenta que nunca la definimos).

Axioma de Ordenación: Dados tres puntos distintos sobre una recta, uno está entre los otros dos. Asegura que todo segmento sea divisible. Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta, el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están en un lado y los que están en el otro).

Axioma de Pascho: Dado un triángulo y una recta que no pasa por sus vértices, o la recta es externa al triángulo, o pasa por dos de los lados.

Este axioma garantiza que una recta divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado se considera un movimiento).

Solo existe un movimiento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra.

[editar] Congruencia

Se definen los conceptos siguientes:

Segmento: Conjunto de puntos consecutivos limitados por otros dos puntos dentro de una recta.
Ángulo: Un punto y un par de semirrectas que parten de él.

Sobre estos dos conceptos recién definidos postulamos la existencia de una relación de congruencia, que es el equivalente axiomático de los movimientos. Básicamente, dados dos segmentos o dos ángulos, aceptamos que existe algún método que nos permite decir si son congruentes o no.

Sea cual sea el método para determinar la congruencia se le exigen los siguientes postulados:

Todo segmento es congruente consigo mismo.
Si un segmento es congruente con uno dado, el dado es congruente con el primero.
Si dos segmentos son congruentes con un tercero son congruentes entre ellos.
Dados dos segmentos formando un ángulo, congruentes con otros dos que forman un ángulo congruente, al unir los extremos sueltos para formar dos triángulos, los tres lados y los tres ángulos serán congruentes (es decir, se postula que un triángulo queda definido por dos lados y su ángulo).

[editar] Continuidad

Axioma de Arquímedes: Se impone que un segmento pueda dividirse en dos indefinidamente.
Axioma de la plenitud: Se impone que el conjunto de puntos de una línea no pueda ser ampliado mediante cierres (límites de sucesiones).

[editar] Definiciones

Se puede ver que en los anteriores axiomas todo es aceptable, excepto el detalle (importante) de que no dijimos qué es una semirrecta, qué es un semiplano y qué es un movimiento (o sea, omitimos hasta ahora definir estos conceptos).

[editar] Semirrecta

Una semirrecta es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de ésta. Para determinarla se especificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido (téngase en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión).

[editar] Semiplano

Un semiplano, análogo a la semirrecta, es el conjunto de puntos del plano que están a un lado de una recta. Para determinarlo se especifica el plano en cuestión, la recta que lo divide y un punto del lado elegido (téngase en cuenta que la recta que divide al plano pertenece al semiplano en cuestión).

[editar] Movimiento

La definición de un movimiento es más complicada que las anteriores, pero se hace más clara cuando se avanza en el estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente que se trata de transformaciones que modifican figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc) en otros de la misma clase; a éstos últimos se les llama "homólogos de los primeros en la transformación". Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman un punto que pertenece a una recta, en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo. Se puede definir también como movimiento a una transformación de coordenadas en un espacio, de forma tal que la métrica de este espacio sea invariante, es decir, entre dos puntos cualesquiera de éste la distancia entre éstos permanezca invariable.

[editar] Teoremas

Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas.

Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos (obsérvese que eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo basta con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indicado en el axioma, etc.)
También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultáneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta; los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano).

Imagen:Demostración teorema 1 (geometría).PNG

Figura 1: El punto "A" y el punto "B" determinan a la recta "r" (por el axioma citado). Sabemos que existe un punto C en el plano (toda la imagen está en un plano). Los puntos B y C determinan la recta s. y sabemos que entre B y C hay infinitos puntos (por el teorema citado). Esos puntos están fuera de la recta r y están dentro del plano.

Como un ejemplo más complejo, podemos afirmar que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero demostrarlo es complicado; primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos). Para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y éstos deben estar fuera de la recta (ya que si tuvieran otro punto común las dos rectas coincidirían y eso es una contradicción, ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta). Véase la figura 1.

[editar] Las figuras geométricas y las construcciones

Una figura geométrica es, en la geometría euclidiana, todo espacio encerrado entre líneas. Las construcciones son secuencias de operaciones elementales para construir estas figuras geométricas.

En Geometría Clásica solo se buscaban construcciones con regla y compás. Las construcciones son equivalentes al concepto de algoritmo en una álgebra.

La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

El avance de la geometría depende fuertemente del avance en las definiciones; las propiedades de los triángulos son posibles de enunciar sin hacer referencia a éstos, pero sería un proceso largo, tedioso e inútil. Por lo tanto, los teoremas relativos a cada figura que se defina (y su respectiva definición), serán enunciados dentro de sus páginas respectivas.

Las figuras fundamentales (sin definición): punto, recta y plano.
En la recta se pueden ver: segmentos, semirrectas y vectores.
En el plano, una recta determina dos semiplanos; su intersección determina las figuras convexas: faja, ángulo, triángulo, cuadriángulo y polígono.
Utilizando el concepto de distancia, se definen: el círculo y la esfera.
Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepípedo.
El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro.

Existen otras figuras geométricas, que serán definidas dentro de cada página vinculada a ésta.

[editar] Relaciones y propiedades

Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes: dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares u oblicuas (se cortan en un punto formando ángulos no rectos). En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). Nótese que estas relaciones son definiciones (en nuestro esquema). Uno de los conceptos más importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.

[editar] Clases de geometrías

Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si nosotros agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más).

Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todas las geometrías (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A esta geometría se le llama geometría absoluta o geometría neutral.

Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana.

Agregando a éstos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (éstos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La geometría descriptiva es la que se encarga de posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.

Todos estos sistemas axiomáticos permiten definir segmentos y compararlos. Esto permite a su vez definir un patrón de medida y asignar una medida a los segmentos. Se llaman por tanto geometrías métricas. Hay sistemas de axiomas donde esto no es posible y se dice que son una geometría de incidencia.

Utilizando otros axiomas de paralelismo (distintos al de Euclides) se obtienen las geometrías no euclídeas.

Finalmente, incluyendo un axioma que considere la existencia de los puntos del infinito, obtenemos la geometría proyectiva