Filtro de Kalman

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El filtro de Kalman es un algoritmo desarrollado por Rudolf E. Kalman que sirve para poder estimar el estado oculto (no medible) de un sistema dinámico lineal, al igual que el observador de Luenberger, pero sirve además cuando el sistema está sometido a ruido blanco aditivo. La diferencia entre ambos es que en el observador de Luenberger, la ganancia K de realimentación del error debe ser elegida "a mano", mientras que el filtro de Kalman es capaz de escogerla de forma óptima cuando se conocen las varianzas de los ruidos que afectan al sistema.

Caso de tiempo discreto:

Se tiene un sistema dado por:

donde:

<math>\quad w_k</math> es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza <math>\quad Q_k</math> en el instante k.

<math>\quad v_k</math> es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza <math>\quad R_k</math> en el instante k.

El filtro de Kalman permite estimar el estado <math>\quad x_k</math> a partir de las mediciones anteriores de <math>\quad u_k</math>, <math>\quad z_k</math>, <math>\quad Q_k</math>, <math>\quad R_k</math> y las estimaciones anteriores de <math>\quad x(t)</math>.

Caso de tiempo continuo:

Se tiene un sistema dado por:

donde:

<math>\quad w(t)</math> es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza <math>\quad Q(t)</math> en el instante t.

<math>\quad v(t)</math> es ruido blanco de valor promedio igual a cero y con varianza <math>\quad R(t)</math> en el instante t.

El filtro de Kalman permite estimar el estado <math>\quad x(t+dt)</math> a partir de las mediciones anteriores de <math>\quad u(t)</math>, <math>\quad z(t)</math>, <math>\quad Q(t)</math>, <math>\quad R(t)</math> y las estimaciones anteriores de <math>\quad x(t)</math>.

En el caso de que el sistema dinámico sea no-lineal, es posible usar una modificación del algoritmo llamada "filtro de Kalman extendido", el cual linealiza el sistema en torno al <math>\hat x(t)</math> estimado actualmente para calcular la ganancia y la dirección de corrección adecuada. En este caso, en vez de haber matrices A, B y C, hay dos funciones <math>f(x,u,w)</math> y <math>h(x,v)</math> que entregan la transición de estado y la observación (la salida contaminada) respectivamente.