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En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

[editar] Definición

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles <math>x_1, x_2 \ldots x_n \,\!</math> y sus posibilidades representadas por la función de masa <math>p(x_i)</math> la esperanza se calcula con

<math>E[X]=\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i) \,\!</math>

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad <math>f(x) \,\!</math>:

<math>E[X]=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx \,\!</math> o <math>\operatorname{E}[X] = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P \,\!</math>

La esperanza también se suele simbolizar con <math>\mu = E[X] \,\!</math>

Las esperanzas <math>E[X^k] \,\!</math> para <math>k=0,1,2... \,\!</math> se llaman momentos de orden <math>k \,\!</math>. Más importantes son los momentos centrados <math>E[(X-E[X])^k] \,\!</math>.

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado (por ejemplo la distribución de Cauchy).

[editar] Propiedades

La esperanza es un operador lineal, ya que:

<math>\operatorname{E}(X + c)= \operatorname{E}(X) + c \,\!</math>

<math>\operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y) \,\!</math>

<math>\operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X) \,\!</math>

Combinando estas propiedades, podemos ver que -

<math>\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b \,\!</math>

<math>\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y) \,\!</math>

donde <math>X \,\!</math> e <math>Y \,\!</math> son variables aleatorias y <math>a \,\!</math> y <math>b \,\!</math> dos constantes cualesquiera.

[editar] Véase también

• Varianza

ar:قيمة متوقعة cs:Střední hodnota de:Erwartungswert el:Μέση τιμή en:Expected value eo:Atendata valoro fi:Odotusarvo fr:Espérance mathématique gl:Valor esperado he:תוחלת hu:Várható érték it:Valore atteso ja:期待値 ko:기대값 nl:Verwachting (wiskunde) no:Forventning pl:Wartość oczekiwana pt:Valor esperado ru:Математическое ожидание su:Nilai ekspektasi sv:Väntevärde tr:Beklenen değer uk:Математичне сподівання vi:Giá trị kỳ vọng zh:期望值