Energía cinética

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La energía cinética es la energía que posee un cuerpo de masa <math>m</math> por encontrarse en movimiento. Es un error común creer que por "movimiento" se habla de movimiento lineal <math>v</math>. Existe también el movimiento angular <math>\omega</math>, y no puede ser ignorado. Desde un punto de vista formal, la energía cinética es el trabajo necesario para acelerar una partícula desde una velocidad (angular y lineal) nula hasta una velocidad (angular y lineal) dada. Las unidades del SI para la energía son julios o joules.

Tabla de contenidos

1 Energía cinética de partículas materiales
2 Energía cinética de un sólido rígido
- 2.1 En mecánica newtoniana
- 2.2 En mecánica cuántica
3 Energía cinética y temperatura
4 Véase también

[editar] Energía cinética de partículas materiales

[editar] En mecánica newtoniana

En mecánica clásica la energía cinética se puede calcular a partir de la ecuación del trabajo y la expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:

<math> E_c = W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} =

\int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}dt= \frac{1}{2}mv^2</math>

[editar] En mecánica relativista

En cambio, en el contexto de la teoría de la relatividad no es válida la forma de la segunda ley de Newton. La diferente definición de la cantidad de movimiento de una partícula lleva a la expresión:

<math> E_c = W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} =

\int \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot \vec{v}dt = \int \vec{v} \cdot d\left ( \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right ) = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2</math>

Tomando la expresión relativista anterior, desarrollándola en serie de Taylor y haciendo el límite clásico se recupera la expresión de la energía cinética típica de la mecánica newtoniana:

<math> E_c = \lim_{c \to \infty} \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2=

\lim_{c \to \infty} mc^2\left [\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+ \frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+...\right] = \frac{1}{2}mv^2 </math>

[editar] En mecánica cuántica

En la teoría cuántica una magnitud física como la energía cinética debe venir representada por un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert adecuado. Ese operador puede construirse por un proceso de cuantización, el cual conduce para una partícula moviéndose por el espacio euclídeo tridimensional a una representación natural de ese operador sobre el espacio de Hilbert <math>L^2(\R)</math> dado por:

<math> \hat{E}_c = -\hbar^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)</math>

que, sobre un dominio denso de dicho espacio formado clases de equivalencia representables por funciones C², define un operador autoadjunto con autovalores siempre positivos, lo cual hace que sean interpretables como valores físicamente medibles de la energía cinética.

[editar] Energía cinética de un sólido rígido

[editar] En mecánica newtoniana

Si se considera el centro de masas, se puede descomponer la energía cinética total como dos sumas: la energía cinética de traslación (que es la asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a través del espacio) y la energía cinética de rotación (que es la asociada al movimiento de rotación con cierta la velocidad angular). La expresión matemática para la energía cinética es:

<math>E_c = \frac{1}{2} m \| \vec{v} \|^2 + \frac{1}{2} \vec{\omega} \cdot (\mathbf{I} \vec{\omega}) </math>

donde:

<math>E_{tra} = \frac{1}{2} m \| \vec{v} \|^2</math> Energía de traslación.

<math>E_{rot} = \frac{1}{2} \vec{\omega} \cdot (I \vec{\omega})</math> Energía de rotación.

<math>m \,</math> masa del cuerpo.

<math>\mathbf{I}</math> tensor de (momentos de) inercia.

<math>\vec{\omega} = </math> velocidad angular del cuerpo.

<math>\vec{v} = </math> velocidad lineal del cuerpo.

El valor de la energía cinética siempre es positivo, y depende del sistema de referencia que se considere al determinar el valor (módulo) de la velocidad <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{\omega}</math>.

[editar] En mecánica cuántica

Un sólido rígido a pesar de estar formado por un número infinito de partículas, es un sistema mecánico con un número finito de grados de libertad lo cual hace que su equivalente cuántico pueda ser representado por sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita de tipo L² sobre un espacio de configuración de dimensión finita. En este caso el espacio de configuración de un sólido rígido es precisamente el grupo de Lie SO(3) y por tanto el espacio de Hilbert pertinente y el operador energía cinética de rotación pueden representarse por:

<math>

\mathcal{H} = L^2(SO(3),\mu_h) \qquad \hat{E}_{rot}= \left(\frac{\hat{L}_x^2}{2I_1} + \frac{\hat{L}_y^2}{2I_2} + \frac{\hat{L}_z^2}{2I_3} \right)</math> donde <math>\mu_h</math> es la medida de Haar invariante de SO(3), <math>\hat{L}_i</math> son los operadores del momento angular en la representación adecuada y los escalares <math>I_i</math> son los momentos de inercia principales.

[editar] Energía cinética y temperatura

A nivel microscópico la energía cinética promedio de las moléculas de un gas define su temperatura. De acuerdo con la ley de Maxwell-Boltzmann para un gas ideal clásico la relación entre la temperatura (T) de un gas y su energía cinética media es:

<math>T = \frac{2}{3\kappa_B}\langle E_k \rangle = \frac{m}{3\kappa_B}\langle v^2 \rangle</math>

donde <math>\kappa_B</math> es la constante de Boltzmann, <math>m\;</math> es la masa de cada una de las moléculas del gas.