Elipse
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Existen al menos tres maneras equivalentes de definir las elipses:
Definición 1: una elipse es una sección cónica en la que la inclinación del plano es mayor que el ángulo de conicidad.
Definición 2: una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F y F' dos puntos del plano y sea <math>d</math> una constante mayor que la distancia FF'. Un punto M pertenece a la elipse de focos F y F' si:
- <math>F M + F' M = d = 2a \,</math>
donde <math>a</math> es el semieje mayor de la elipse.
Definición 3: en un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación:
- <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \,</math>
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
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[editar] Propiedades
[editar] Ecuación paramétrica
La elipse anterior tiene como ecuación paramétrica x = a·cos θ, y = b·sen θ, con θ describiendo el intervalo [0;2π) (notar que θ no es el ángulo que forma OM con OM1)
[editar] Tangente a la elipse
La tangente a la elipse en el punto M (xo, yo ) admite como ecuación: x·(x - xo)/a² + y·(y - yo)/b² = 0, que se escribe también: x-xo/a² + y-yo/b² = 1 (que se obtiene con el método de desdoblamiento de las variables).
[editar] Tangente a la elipse (Versión Corregida)
La recta tangente a la elipse centrada en (P, Q) en el punto M (<math>X_0, Y_0</math>) tiene como ecuación: <math>\frac{(X - P)(X_0 - P)}{A^2} + \frac{(Y - Q)(Y_0 - Q)}{B^2} = 1</math>
[editar] Otras propiedades
- La excentricidad de una elipse es ε = c/a.
- El área interior a la elipse es π·a·b
- La circunferencia es una elipse en la que a = b.
- En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales.
[editar] Propiedades notables
Según se explicó precedentemente, la elipse posee un «eje mayor» trazo AB y un «eje menor» trazo CD; la mitad de cada de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
- La «elipse» goza de propiedades notables asociadas a cada uno de sus componentes, como se puede visualizar en Analogía de Michelson y Morley.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos <math> \, {F_1} </math> y <math> \, {F_2} </math> que se llaman «focos».
El punto <math> \, {Q} </math> puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».
La longitud desde <math> \, {F_1} </math> al punto <math> \, {Q} </math> sumada a la longitud desde <math> \, {F_2} </math> a ese mismo punto <math> \, {Q} </math>, es una cantidad constante que siempre será igual a la longitud del «eje mayor» trazo AB.
A las rectas correspondientes a los trazos <math> \, {QF_1} </math> y <math> \, {QF_2} </math>, se las llama «radios vectores».
Los dos «focos» equidistan del centro <math> \, {0} </math>.
El área de la elipse es:
- <math>\grave{A} rea=\pi \cdot a \cdot b</math>
.
[editar] Anamorfosis de un círculo en una elipse
La desfiguración de la circunferencia (con su aplastamiento distorsiona el plano cartesiano asociado a aquella), se denomina anamorfosis, que corresponde a una perspectiva muy especial. El término anamorfosis se toma del griego que significa "trasformar".
En el caso del círculo el plano cartesiano está compuesto por varios cuadraditos, en cambio cuando el círculo se aplasta – transformándolo en una elipse – esos cuadrados se deforman quedando más contraído por el eje de las Y, y simultáneamente dilatados por el eje de las X, según se visualiza en la imagen de la izquierda.
Utilizando las propiedades que tiene el «semieje mayor», y a la vez, la relación de afinidad con la Circunferencia principal, o la Excentricidad, o la Contracción de Lorentz, constataremos que para el ejemplo y los valores dados, con ellos podemos determinar el factor asociado al ángulo <math> \, {\ cos\beta{_1}} = {K_1} = {0,25} </math>, y a la vez, el factor al ángulo <math> \,{\ cos\beta{_2}} = {K_2} = {1,75} </math>, tendremos:
Si el radio "Y" del círculo es de 80 m y éste se contrajo a 20 m, dado que (80 - 60), y el radio "X" de 80 m se dilató en 140 m, dado que (80 + 60), entonces en la elipse su «semieje mayor» será de 100 m, y su «semieje menor» de 60 m, por cuanto los valores alteradores son 80 y 60, por lo que el <math> \,Semieje mayor = \sqrt {80^2 + 60^2} = 100
</math>
El trazo <math> \, {AF_1} </math> será de 20 m, y el trazo <math> \, {F_1 {0}} </math>, será de 80.
- Si dividimos 20/80 = 0,25 igual al factor de contracción del eje de las Y, en donde 80 x 0, 25 = 20 = (80- 60)
- Si dividimos 140/80 = 1,75 igual al factor de dilatación del eje de las X, en donde 80 x 1,75 = 140 = (80 + 60)
- Dado que <math> \, { 80 + 60} \, {=} {140}</math>
- Los valores involucradosn en este ejemplo son:
- <math>\, {c } \,= { 80 m/s} </math>
- <math>\, {v } \, = { 60 m/s}</math>
- <math> \,{\cos\beta{_1}} = {-1} </math>
- <math> \,{\cos\beta{_2}} = {+1} </math>
- Para el observador que viaja al interior del carro, no se adicionan la velocidad de la naranja con la velocidad del carro.
- <math>
\,{(c-v+v)} { = 80 m/s}
</math>
- <math>
\,{(c+v-v)}{ = 80 m/s}
</math>
- Para el Observador que viaja al exterior del carro, se adicionan la velocidad de la naranja con la velocidad del carro.
- <math>
\,{(c-v)} { = 20 m/s}
</math>
- <math>
\,{(c+v)}{ = 140 m/s}
</math>
- Factor <math> \,{K_1}</math> de transformación para que, el observador sin perpectiva, pueda calcular lo que visualizará el observador ubicado en el marco de referencia exterior:
- <math>
K_1 = \sqrt{1+\left(\frac{2vc\cos\beta+v^2}{c^2}\right)}
</math>
- <math> \, Para {\ cos\beta{_1}} = {K_1} = {0,25} </math>
- <math> \,Para {\ cos\beta{_2}} = {K_2} = {1,75} </math>
- En donde:
- <math> \,{c = 80 } {\, x} {\, 0,25} = {20 m/s} </math>
- <math> \,{c = 80 } {\, x} {\, 1,75} = {140 m/s} </math>
- Factor <math> \,{K_2}</math> de transformación para que, el observador exterior, pueda calcular lo que visualizará el observador sin perspectiva:
- <math>
K_2 = \sqrt{1+\left(\frac{2vc\cos\beta+v^2}{c^2}\right)}
</math>
- <math> \, Para {\ cos\beta{_1}} = {K_1} = {0,25} </math>
- <math> \,Para {\ cos\beta{_2}} = {K_2} = {1,75} </math>
- En donde:
- <math> \frac{20 m/s}{0,25} = {80 m/s} </math>
- <math> \frac{140 m/s}{1,75} = {80 m/s} </math>
[editar] Véase también
ar:قطع ناقص ast:Elipse be:Эліпс bg:Елипса ca:El·lipse cs:Elipsa da:Ellipse (geometri) de:Ellipse el:Έλλειψη en:Ellipse eo:Elipso et:Ellips (geomeetria) fi:Ellipsi fr:Ellipse (mathématiques) gl:Elipse he:אליפסה hr:Elipsa hu:Ellipszis (görbe) ia:Ellipse id:Elips it:Ellisse ja:楕円 ka:ელიფსი ko:타원 lt:Elipsė lv:Elipse nl:Ellips (wiskunde) nn:Ellipse no:Ellipse pl:Elipsa (matematyka) pt:Elipse qu:Lump'u ro:Elipsă ru:Эллипс scn:Ellissi simple:Ellipse sk:Elipsa sl:Elipsa sr:Елипса sv:Ellips (matematik) ta:நீள்வட்டம் tr:Elips uk:Еліпс vi:Elíp zh:椭圆
