Conservación de la energía

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La ley de conservación de la energía establece que el valor de la energía de un sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo. La conservación de la energía de un sistema está ligada al hecho de que las ecuaciones de evolución sean independientes del instante considerado. Es decir, el hecho de que en su evolución temporal de un sistema todos los instantes de tiempo sean equivalentes, hace que las magnitudes del mismo varíen coordinadamente de tal manera que cierta magnitud llamada energía permanezca constante.

Tabla de contenidos

1 Conservación de la energía y termodinámica
2 El principio en mecánica clásica
3 El principio en mecánica relativista
- 3.1 Conservación en presencia de campo electromagnético
- 3.2 Conservación en presencia de campo gravitatorio
4 El principio en mecánica cuántica
5 Véase también
6 Referencias

[editar] Conservación de la energía y termodinámica

Dentro de los sistemas termodinámicos, una consecuencia de la ley de conservación de la energía es la llamada Primera ley de la termodinámica, que establece que, dada una cantidad de energía térmica ΔQ que fluye dentro de un sistema, debe aparecer como un incremento de la energía interna del sistema (ΔU) o como un trabajo (ΔW) efectuado por el sistema sobre sus alrededores:

<math> \Delta U = \ Q + \ W </math>

(ver Criterio de signos termodinámico)

Aunque la energía no se pierde, se degrada de acuerdo con el segundo principio de la termodinámica. Es decir, se distribuye de una forma con mayor entropía y en general no resulta posible el volver al estado físico anterior, aunque tenga la misma energía. Así un sistema físico en el que la energía se conserva acaba en un estado físico, en el que la energía acaba en forma de calor o temperatura. Este calor es muy difícil de convertir en otras energías, por lo menos con un rendimiento cercano al rendimiento del Ciclo de Carnot.

Desde un punto de vista cotidiano, las máquinas y los procesos desarrollados por el hombre funcionan con un rendimiento menor que el 100%, lo que se traduce en "pérdidas de energía" medido en términos económicos o materiales, sin que esto deba interpretarse como un no cumplimiento del principio enunciado.

[editar] El principio en mecánica clásica

En mecánica lagrangiana la conservación de la energía es una consecuencia del teorema de Noether cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo. El teorema de Noether asegura que cuando se tiene un lagrangiano independiente del tiempo, y por tanto, existe un grupo uniparamétrico de traslaciones temporales o simetría, puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que permanece constante a lo largo de la evolución temporal del sistema, esa magnitud es precisamente la energía mecánica del sistema.

En mecánica newtoniana el principio de conservación de la energía, no puede derivarse de un principio tan elegante como el teorema de Noether, pero puede comprobarse directamente para ciertos sistemas simples de partículas en el caso de que todas las fuerzas deriven de un potencial, el caso más simple es el de un sistema de partículas puntuales que interactúan a distancia de modo instantáneo.

[editar] El principio en mecánica relativista

Una primera dificultad para generalizar la ley de conservación de la energía de la mecánica clásica a la teoría de la relatividad está en que en mecánica relativista no podemos distinguir adecuadamente entre masa y energía. Así de acuerdo con esta teoría, la sola presencia de un partícula material de masa m en reposo respecto observador implica que dicho observador medirá una cantidad de energía asociadada a ella dada por E = mc². Otro hecho experimental contrastado es que en la teoría de la relatividad no es posible formular una ley de conservación de la masa análoga a la que existe en mecánica clásica, ya que esta no se conserva. Así aunque que en mecánica relativista no existan leyes de conservación separadas para la energía no asociada a la masa y para la masa, sin embargo, sí es posible formular una ley de conservación "masa-energía" o energía total.

Dentro de la teoría de la relatividad especial, la materia puede respresentarse como un conjunto de campos materiales a partir de los cuales se forma el llamado tensor de energía-impulso total y la ley de conservación de la energía se expresa en relatividad especial, usando el convenio de sumación de Einstein, en la forma:

<math>\frac{\part T^{\alpha\beta

{\part x^\beta} =\frac{\part T^{\alpha 0}}{\part x^0}+ \frac{\part T^{\alpha 1}}{\part x^1}+\frac{\part T^{\alpha 2}}{\part x^2}+\frac{\part T^{\alpha 3}}{\part x^3}=0</math>|1|left}} A partir de esta forma diferencial de la conservación de la energía, dadas las propiedades especiales del espacio-tiempo en teoría de la relatividad especial siempre conduce a una ley de conservación en forma integral. Esa integral representa precisamente una mangitud física que permanece invariable a lo largo de la evolución del sistema y es precisamente la energía. A partir de la expresión (1), escrita en términos de coordenadas galileanas <math>(x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z)\;</math>, y usando el teorema de la divergencia tenemos:

(left)

Si la segunda integral que representa el flujo de energía y momentum se anula, como sucede por ejemplo si extendemos la integral a todo el espacio-tiempo para un sistema aislado llegamos a la conclusión de que el primer miembro de la expresión anterior permanece invariable durante el tiempo. Es decir:

(left)

La componente "temporal" <math>E = cP^{00}\,</math> es precisamente la energía total del sistema, siendo las otras tres la componentes del momento lineal en las tres direcciones espaciales.

[editar] Conservación en presencia de campo electromagnético

En presencia de campos electromagnéticos la energía cinética total de las partículas cargadas no se conserva. Por otro lado a los campos eléctrico y magnético, por el hecho de ser entidades físicas que evolucionan en el tiempo según la dinámica propia de un lagrangiano, puede asignárseles una magnitud llamada energía electromagnética dada por una suma de cuadrados del módulo de ambos campos que satisface:

<math> \frac{\partial}{\partial t} \left(\varepsilon_0\mathbf{E}^2+

\frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right)+ \frac{\partial E_{cin

{\partial t} = 0</math>|4|left}} El término encerrado en el primer paréntesis es precisamente la integral extendida a todo el espacio de la componente <math>T^{00}</math>, que de acuerdo con la sección precedente debe ser una magnitud conservada para un campo electromagnético adecuadamente confinado.

[editar] Conservación en presencia de campo gravitatorio

El campo gravitatorio dentro de la mecánica relativista es tratado dentro de la teoría general de la relatividad. Debido a las peculiaridades del campo gravitatorio tal como es tratado dentro de esta teoría, no existe una manera de construir una magnitud que represente la energía total conjunta de la materia y el espacio-tiempo que se conserve. La explicación intuitiva de este hecho es que debido a que un espacio-tiempo puede carecer de simetría temporal, hecho que se refleja en que no existen vectores de Killing temporales en dicho espacio, no puede hablarse de invariancia temporal de las ecuaciones de movimiento, al no existir un tiempo ajeno al propio tiempo coordenado del espacio-tiempo.

Otra de las consecuencias del tratamiento que hace la teoría de la relatividad general del espacio-tiempo es que no existe un tensor de energía-impulso bien definido. Aunque para ciertos sistemas de coordenadas puede construirse el llamado pseudotensor de energía-impulso, con propiedades similares a un tensor, pero que sólo puede definirse en sistemas de coordenadas que cumplen ciertas propiedades específicas.

Por otro lado, aún en la teoría de la relatividad general para cierto tipo de sistemas muy especiales, puede construirse una magnitud asimilable a la energía total del sistema. Un ejemplo de estos sistemas son los espacio-tiempos asintóticamente planos caracterizados por una estructura causal peculiar y ciertas condiciones técnicas muy restrictivas; estos sistemas son el equivalente en teoría de la relatividad de los sistemas aislados.

Finalmente cabe señalar, que dentro de algunas teorías alternativas a la relatividad general, como la teoría relativista de la gravitación de Logunov y Mestvirishvili, sí puede definirse unívocamente la energía total del sistema de materia. Esta teoría totalmente equivalente a la teoría de la relatividad general en regiones desprovistas de materia, y predice desviaciones de la misma sólo en regiones ocupadas por materia. En particular la teoría de Logunov y Mestvirishvili, predice la no ocurrencia de agujeros negros<ref>A. A. Logunov, 1998, Curso de Teoría de la Relatividad y de la gravitación, Universidad Estatatal de Lomonósov, Moscú, ISBN 5-88417-162-5</ref>, y esa es una de las principales predicciones que la diferencian de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein.

[editar] El principio en mecánica cuántica

En mecánica cuántica aparecen algunas dificultades al considerar la cantidad de energía de un sistema a lo largo del tiempo. Así la energía total en ciertos sistemas aislados no está fijada para algunos estados cuánticos sino que puede fluctuar a lo largo del tiempo. Sólo los estados llamados estacionarios que son autovectores del operador hamiltoniano tienen una energía bien definida, cuando además el hamiltoniano no depende del tiempo.

Sin embargo, en sistemas aislados aún para estados no estacionarios, puede definirse una ley de conservación de la energía en términos de valores medios. De hecho para un sistema cuántico cualquiera el valor medio de la energía de un estado puro viene dado por:

\frac{\partial \hat{H

{\partial t} | \Psi(t) \rangle </math>,|1|left}} Y por tanto cuando el hamiltoniano no depende del tiempo, como sucede en un sistema aislado el valor esperado de la energía total se conserva. Aunque para algunos estados se observen fluctuaciones oscilantes de la energía cuya desviación estándar se relacionan con el principio de indeterminación de Heisenberg mediante:

<math>\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}</math>,

(2)

Donde: <math>\Delta E := \sqrt{\langle \Psi(t) | \hat{H}^2 | \Psi(t) \rangle - \langle E \rangle^2}</math>