Conjunto

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En matemáticas, se podría decir que un conjunto es una colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común. <ref>Decimos "se podría decir" porque no existe ninguna definición enteramente satisfactoria (excepto el subterfugio de definir un conjunto como cualquier objeto que verifique la axiomática de Zermelo-Fraenkel). Cualquier definición dada hasta el momento esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones.</ref> Por objeto entenderemos no sólo cosas físicas, como discos, computadores, etc., sino también abstractos, como son números, letras, etc. A los objetos se les llama elementos del conjunto. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no siempre puede calificarse de falso o bien verdadero.

Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Se puede obtener una descripción más detallada en la Teoría de conjuntos.

Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves { , y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:

{rojo, amarillo, azul}

{rojo, azul, amarillo, rojo}

{x: x es un color primario}

Imagen:Venn A subset B.png

Imagen:Venn A union B.png

Imagen:Venn A intersect B.svg

Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.

Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.

La unión de una colección de conjuntos: <math> S= \{ S_1 , S_2 , S_3 , ... \} \, </math> es el conjunto de todos los elementos contenidos en, al menos, uno de los conjuntos <math> S_1 , S_2 , S_3 , ... \, </math> y se representa: <math> S= S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup ... \, </math>

La intersección de una colección de conjuntos: <math> T= \{ T_1 , T_2 , T_3 , ... \} \, </math>, es el conjunto de todos los elementos contenidos en todos los conjuntos: <math> T_1 , T_2 , T_3 , ... \, </math> y se representa: <math> T= T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap ... \, </math>

Algunos ejemplos de conjuntos de números son:

Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto.
Los números enteros
Los números racionales
Los números reales, que incluyen a los números irracionales
Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo x² + 1 = 0.

La teoría estadística se construye sobre la base de la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.

[editar] Relaciones entre conjuntos

Una categoría matemática consta de dos partes: los objetos y los morfismos. Cuando hablamos de la categoría de conjuntos, los objetos son los mismos conjuntos y un morfismo f entre dos objetos, digamos X, Y, en un tipo de relación entre X,Y dirigida i.e. un subconjuto del producto cartesiano de X con Y, en símbolos:

<math>f\subset X\times Y</math>

y ésta es una aplicación entre los conjuntos.