Característica (matemática)
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En Álgebra abstracta, la característica de un anillo R es definida como el entero positivo más pequeño n tal que 1R+...+1R (con n sumandos) = 0. Si no existe tal n, decimos que la característica de R es 0.
De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo R como el único número natural n tal que R contenga un subanillo isomorfo al anillo factorial Z/nZ.
[editar] El caso de anillos
Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillos
- R → S,
entonces la característica de S divide la característica de R. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial R no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 ó primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.
El anillo Z/nZ de los enteros módulo n tiene característica n. Si R es un subanillo de S, entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si q(X) es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo Z/pZ donde p es primo, entonces el anillo factor (Z/pZ)[X]/(q(X)) es un cuerpo de característica p. Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.
Si un anillo conmutativo R tiene característica prima p, entonces se tiene que (x + y)p = xp + yp para todo elemento x y y en R.
La aplicación
- f(x) = xp
define un homomorfismo de anillos
- R → R.
Este es llamado el homomorfismo de Frobenius. Si R es un dominio de integridad éste es inyectivo.
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