Campo conservativo
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Un campo conservativo es un campo vectorial de "fuerzas" donde el trabajo que es necesario para mover una partícula a lo largo de una trayectoria cerrada contenida dentro del espacio ocupado por el campo, es igual a cero.
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[editar] Propiedades
Dado un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa el campo es conservativo si cumple cualquiera de estas condiciones (de hecho puede demostrarse que si cumple una de ellas cumple las otras dos también):
- 1. Un campo es conservativo si, y sólo si, el trabajo que realiza la fuerza que genera el campo entre dos puntos no depende del camino que haya seguido el móvil entre esos dos puntos.</br>
<math>\int_{C_1} \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int_{C_2} \vec{F} \cdot d\vec{l}</math>
</br>
- 2. Un campo es conservativo si, y sólo si, el rotacional de ese campo vectorial en todos los puntos es cero:.</br>
<math>\nabla \times \vec{F} = 0 </math>
</br>
- 3. Y más importante: un campo de fuerzas es conservativo si y sólo si podemos encontrar una función escalar potencial llamada de energía potencial, de la cual su gradiente sea esa fuerza. De tal modo que para esa fuerza el trabajo que realiza sobre un móvil entre dos puntos cualesquiera del espacio es igual a la variación de esa función escalar entre esos dos puntos, cambiada de signo.</br>
<math>\vec{F} = - \vec{\nabla} \cdot V </math> <math>\int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{l} = V_A - V_B </math><center>
</br> Otra propiedad interesante es que las curvas integrales de un campo vectorial conservativo, llamadas o líneas de campo, no pueden ser cerradas.
[editar] Ejemplos de campos de fuerzas conservativos
El campo electrostático, el campo gravitatorio en mecánica clásica o las fuerzas intermoleculares en un sólido para pequeños valores de vibración son todos ellos casos de fuerzas conservativas. El campo electrostático y el gravitatorio en mecánica clásica de un cuerpo en reposo y a grandes distancia del mismo tiene la forma aproximada:</br> </br>
- <math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\hat{u}_r}{||\vec{r}-\vec{r}_q||^2} \qquad \qquad \vec{g}(\vec{r}) = Gm\frac{\hat{u}_r}{||\vec{r}-\vec{r}_m||^2}</math>
</br> Donde <math>\hat{u}_r</math> es un vector unitario dirigido desde la fuente del campo hacia el punto donde se mide el campo, <math>\vec{r}, \vec{r}_q, \vec{r}_m</math> son respectivamente el vector de posición del punto donde se mide el campo, el vector posición de la carga que crea el campo gravitatorio y el vector de la posición de la masa que crea el campo gravitatorio Las fuerzas intermoleculares pueden ser escritas por unas fuerzas del tipo:</br> </br>
- <math>\vec{F}_i = \begin{Bmatrix} F_{ix} \\ F_{iy}\\ F_{iz} \end{Bmatrix} =
\begin{Bmatrix} \sum_j k_{x,ij} x_j \\ \sum_j k_{y,ij} y_j \\ \sum_j k_{z,ij} z_j \end{Bmatrix} </math> </br> Donde <math>\vec{r}_i = (x_i,y_i,z_i)</math> representa el vector de posición de la molécula i-ésima y las <math>k_{m,ij} \,</math> son constantes elásticas que dependen de la red cristalina del material o su estructura interna. La energía potencial es la correspondiente problema de oscilaciones acopladas y viene dado por una forma cuadrática de las coordenadas:</br> </br>
- <math>V(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N
\left( k_{x,ij} x_i x_j + k_{y,ij} y_i y_j + k_{z,ij} z_i z_j\right)</math> </br>
[editar] Ejemplos de campos no conservativos
El campo magnético es un ejemplo de campo no conservativo que no puede ser derivado de un potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las líneas de campo del campo magnético son cerradas.
