Área (geometría)

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El área es la magnitud geométrica que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones: largo y ancho. Para superficies planas el concepto es intuitivo y no requiere introducir técnicas de geometría diferencial avanzadas.

Sin embargo, para poder definir el área de una superficie en general, que es un concepto métrico, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión, cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Tabla de contenidos

1 Área de figuras planas
2 Área encerrada entre dos funciones
3 Área de revolución
4 Unidades de medida de superficies
- 4.1 Sistema métrico (SI)
- 4.2 Sistema inglés de medidas

[editar] Área de figuras planas

[editar] Área de un rectángulo

Imagen:Rectángulo.JPG

El rectángulo está formado por dos pares de rectas paralelas formando ángulos de 90º entre sí, el área sería la multiplicación de dos de sus lados a y b Ej:

[editar] Área de un cuadrado

El cuadrado se incluye como un caso especial de rectángulo, donde todos sus lados tienen la misma longitud quedando la fórmula de la siguiente--~~~~Aquí inserta texto sin formato[http://www.ejemplo.com Título del enlace]{{revisar}}

forma:

O se multiplica su longitud dos veces.

[editar] Área de un triángulo

El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula

si el triángulo es rectángulo la altura del mismo coincidiría con uno de sus catetos y la fórmula quedaría de la siguiente forma, donde a y b corresponde a los catetos:

si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.

donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados p = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

[editar] Área de un círculo

El área delimitada por un círculo o circunferencia se calcula mediante la siguiente expresión matemática:

[editar] Área encerrada entre dos funciones

Una forma para hallar el área encerrada entre dos funciones es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: <math>f(x)</math> y <math>g(x)</math> en el intervalo <math>[a;b]</math>

Por ejemplo, si se quiere hallar el área encerrada entre el eje x y la función <math>f(x) = 4 - x^2</math> en el intervalo <math>[-2;2]</math>:

se utiliza la ecuación anterior, en este caso: <math>g(x)=0</math> entonces evaluando la integral

se obtiene:

<math> A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left( 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right) = \frac{32}{3}</math>

Por lo que se concluye que el área encerrada es <math> \frac{32}{3} </math>

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.

[editar] Área de revolución

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un cierto eje la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

<math>A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx</math>