Álgebra

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El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.

La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para el solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

[editar] Clasificación

El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día todo el álgebra en las siguientes categorías:

Álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos.

Álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí misma de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de ésta se distingue:
- Álgebra lineal, estudia las propiedades especificas de los espacios vectoriales.
- Álgebra universal, estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas.
- Teoría de números algebraicos, una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos los cuales son raíces de los polinomios con coeficientes racionales.
- Geometría algebraica, combina el Álgebra abstracta, especialmente el Álgebra conmutativa, con la geometría.

[editar] Álgebra elemental

Artículo principal: Álgebra elemental

Álgebra elemental' es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, x, y). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de como resolverlas.
Permite la formulación de relaciones funcionales.

[editar] Álgebra Abstracta

Artículo principal: Álgebra abstracta

El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.

Históricamente, las estructuras algebraicas surgen en algún otro campo distinto a la propia álgebra. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática.

Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los:

Otros ejemplos más complejos son:

En álgebra universal, todas esas definiciones y hechos se coleccos provee del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas.

[editar] Estructura algebraica

Artículo principal: Estructura algebraica

En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas, es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas principales son:

[editar] Signos y Símbolos

En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc.

Aquí algunos ejemplos:

Expresión	Uso
Signos y Símbolos
+	A demás de expresar adicion, también es usada para expresar operaciones binarias
c ó k	Expresan Términos constantes
Primeras letras del alfabeto a,b,c,...	Se utiliza para expresar cantidades conocidas
Ultimas letras del alfabeto ...,x,y,z	Se utiliza para expresar incógnitas
n	Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)
Exponentes y subíndices a',a'',a''', - <math> a_1, a_2, a_3</math>	Expresar cantidades de la misma especie de diferente magnitud.

[editar] Historia del álgebra

Artículo principal: Historia del álgebra

El álgebra (una de las ramas más importantes de las matemáticas) tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofanto. Arquímedes se basó en la matemática para componer su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofanto de Alejandría fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos el análisis diofántico y la obra Aritmética, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta entonces.

Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones, y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemática como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la topología (álgebra topológica).

Las etapas del desarrollo del álgebra simbólica vagamente son:

Álgebra retórica, que fue desarrollada por los babilónicos siguió dominante hasta el siglo XVI
Álgebra constructiva geométrica, que fue acentuada por los matemáticos griegos indios y clásicos de Vedic;
Álgebra sincopada, según lo desarrollado por Diofanto y el manuscrito de Bakhshali; y
Álgebra simbólica, que se considera su culminación con el trabajo de Leibniz.

Línea de tiempo de los aportes más importantes al álgebra:

Alrededor de 1800 adC: La tablilla de Strassburg de la Antigua Babilonia busca la solución de una ecuación elíptica cuadrática.
Alrededor de 1600 adC: La tablilla Plimpton 322 da una tabla de ternas pitagóricas en escritura cuneiforme babilónica.
Alrededor de 800 adC: El matemático hindú Baudhayana, en su Baudhayana Shulba Sutras, descubre ternas pitagóricas en forma algebraica, encuentra las soluciones geométricas de ecuaciones lineares y de ecuaciones cuadráticas de la forma ax² = c y ax2 + bx = c, y encuentra dos sistemas de soluciones integrales positivas a un sistema de ecuaciones diofánticas simultáneas.
Alrededor de 600 adC: El matemático hindú Apastamba, en su Apastamba Shulba Sutras, soluciona la ecuación linear general y utiliza las ecuaciones diofánticas simultáneas con hasta cinco incógnitas.
Alrededor de 300 adC: En el libro II de sus elementos, Euclides da una construcción geométrica con las herramientas euclidianas para la solución de la ecuación cuadrática para las raíces reales positivas. La construcción es debido a la escuela pitagórica de la geometría.
Alrededor de 300 adC: Se busca una construcción geométrica para la solución del cúbico (doblando el problema del cubo). Es bien sabido ahora que el cúbico general no tiene ninguna tal solución usando las herramientas euclidianas.
Alrededor de 100 adC: Las ecuaciones algebraicas se tratan en el suanshu chino de Jiuzhang del libro de las matemáticas (los nueve capítulos en el arte matemático), que contiene las soluciones de las ecuaciones lineares solucionadas usando el método de la regla falsa, las soluciones geométricas de ecuaciones cuadráticas, y las soluciones de las matrices equivalentes al método moderno, para solucionar los sistemas de ecuaciones lineares simultáneas.
Alrededor de 100 adC: El manuscrito de Bakhshali escrito en la India antigua utiliza una forma de notación algebraica usando las letras del alfabeto y otras muestras, y contiene ecuaciones cúbicas y de grado cuarto, las soluciones algebraicas de ecuaciones lineales con hasta cinco incógnitas, la fórmula algebraica general para la ecuación cuadrática, y las soluciones de ecuaciones cuadráticas indeterminadas y de ecuaciones simultáneas.
Alrededor de 150: Héroe egipcio del matemático de Hellenized de Alexandría, ecuaciones algebraicas de los convites en tres volúmenes de matemáticas.
Alrededor de 200: El matemático babilónico Diofanto, que vivió en Egipto y a menudo se considera el "padre del álgebra", escribe su famosa Aritmética, un trabajo que ofrece las soluciones de ecuaciones algebraicas y la teoría de números.
499: El matemático indio Aryabhata, en su tratado Aryabhatiya, obtiene soluciones del número entero a las ecuaciones lineares por un método equivalente el moderno, describe la solución integral general de la ecuación linear indeterminada y da las soluciones integrales de ecuaciones lineares indeterminadas simultáneas.
Alrededor de 625: El matemático chino Wang Xiaotong encuentra las soluciones numéricas de ecuaciones cúbicas.
628: El matemático indio Brahmagupta, en sus esputos Siddhanta de Brahma del tratado, inventa el método del chakravala de solucionar ecuaciones cuadráticas indeterminadas, incluyendo la ecuación de Pell, y da las reglas para solucionar ecuaciones lineares y cuadráticas.
820: El álgebra de la palabra se deriva de las operaciones descritas en el tratado escrito por el wa-l-Muqabala titulado al-Ḵwārizmī persa del al-Jabr del al-Kitab de Mūsā del ibn de Muḥammad del matemático (significado "el libro compendioso en el cálculo Completion y balanceando") en la solución sistemática de ecuaciones lineares y cuadráticas. El al-Khwarizmi se considera a menudo como el "padre del álgebra", mucho que de trabajos sobre la reducción fue incluido en el libro y agregado a muchos métodos que ahora tenemos en álgebra.
Alrededor de 850: El al-Mahani persa del matemático concibió la idea de reducir problemas geométricos tales como duplicar el cubo a los problemas en álgebra.
Alrededor de 850: El matemático indio Mahavira soluciona varias ecuaciones cuadráticas, cúbicas, de grado cuatro, de grado quinto y de órdenes superiores, así como ecuaciones cuadráticas, cúbicas y de orden superior indeterminadas.
Alrededor de 990: El matemático persa Abu Bakr Al-Karaji, en su tratado al-Fakhri, desarrolla más profundamente el álgebra, extendiendo la metodología de al-Khwarizmi para incorporar potencias integrales y raíces integrales de cantidades desconocidas. Sustituye operaciones geométricas del álgebra por operaciones aritméticas modernas y define los monomios x, x², x³, ... y 1/x, 1/x², 1/x³, ... y da las reglas para los productos de cualesquiera dos de éstos.
Alrededor de 1050: El matemático chino Jia Xian encuentra las soluciones numéricas de ecuaciones polinómicas.
1072: El matemático persa Omar Khayyam desarrolla la geometría algebraica y, en el Tratado sobre la demostración de problemas del Álgebra, da una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con las soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas.
1114: El matemático indio Bhaskara, en su Bijaganita (álgebra), reconoce que un número positivo tiene una raíz cuadrada positiva y negativa, y soluciona varias ecuaciones polinómicas cúbicas, de cuarto orden y de órdenes superiores, así como la ecuación indeterminada cuadrática general.
1202: Se introduce el álgebra en Europa, en gran parte a través del trabajo de Leonardo Fibonacci de Pisa en su trabajo Liber Abaci.
Alrededor de 1300: El matemático chino Zhu Shijie se ocupa de álgebra polinómica, soluciona ecuaciones cuadráticas, ecuaciones simultáneas y ecuaciones con hasta cuatro incógnitas, y soluciona numéricamente algunas ecuaciones polinómicas de cuarto grado, quinto grado y órdenes superiores.
Alrededor de 1400: El matemático indio Madhava de Sangamagramma encuentra los métodos iterativos para la solución aproximada de ecuaciones no lineares.
1535: Nicolo Fontana Tartaglia y otros los matemáticos en Italia solucionó independientemente la ecuación cúbica general.
1545: Girolamo Cardano publica el Ars Magna: que da la solución de Fontana a la ecuación general de grado cuatro.
1572: Rafael Bombelli reconoce las raíces complejas del cúbico y mejora la notación actual.
1591: Francois Viete desarrolla la notación simbólica mejorada para las varias energías de una incógnita y utiliza las vocales para las incógnitas y las consonantes para las constantes adentro en isagoge del analyticam del artem.
1631: Thomas Harriot en una publicación del posthumus utiliza la notación exponencial y es el primer para utilizar símbolos para indicar "menos que" y "mayor que".
1682: Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolla su noción de la manipulación simbólica con las reglas formales que él llama los generalis del characteristica.
Década de 1680: El matemático japonés Kowa Seki, en su método para solucionar problemas, descubre el determinante, y los números de Bernoulli.
1750: Gabriel Cramer, en su introducción del tratado al análisis de curvas algebraicas, indica la regla de Cramer y estudia curvas, matrices y determinantes algebraicos.
1824: Niels Henrik Abel demostró que la ecuación de quinto grado general no admite una solución cerrada, es decir, no es posible encontrar una fórmula que resulta tal ecuación, como sí es posible para órdenes inferiores.
1832: La teoría de Galois es desarrollada por Évariste Galois en su trabajo sobre álgebra abstracta.